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Mathematik in der Oberstufe

Achsenschnittpunkte einer Geraden

Bei der Untersuchung von Funktionen spielen die Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen eine wichtige Rolle. Deshalb gehe ich auf das Thema ausführlicher ein, als es bei einer so einfachen Funktion wie der linearen eigentlich notwendig wäre.

In der folgenden Zeichnung sehen Sie den Graphen von $f(x)=-\frac 12x+2{,}5$.

Graph von y=-0,5x+3

Schnittpunkt mit der y-Achse

Sie wissen, dass Sie den Schnittpunkt der Geraden mit der $y$-Achse direkt an der Gleichung ablesen können: es ist $b=2{,}5$, und der Schnittpunkt hat die Koordinaten $S_y(0|2{,}5)$.

Eine Rechnung ist somit eigentlich nicht nötig, aber schauen wir genauer hin: für Punkte auf der $y$-Achse gilt $\color{#f00}{x}=0$. Wir können wie hier vorgehen und die $x$-Koordinate einsetzen:
$\color{#1a1}{y}=f(\color{#f00}{0})=-\frac 12\cdot \color{#f00}{0}+2{,}5=\color{#1a1}{2{,}5}\; \Rightarrow \; Sy(\color{#f00}{0}|\color{#1a1}{2{,}5})$.

Und so geht es fast immer:

Wenn eine Funktion an der Stelle $x=0$ definiert ist, so erhält man den Schnittpunkt ihres Graphen mit der $y$-Achse, indem man $x=0$ in die Funktionsgleichung einsetzt. Der Punkt hat die Koordinaten $Sy(0|f(0))$.

Die Einschränkung zu Beginn ist notwendig: die Funktion $f(x)=\frac 1x$ ist an der Stelle $x=0$ nicht definiert, da man nicht durch Null teilen kann. Der Graph hat keinen Schnittpunkt mit der $y$-Achse.

Schnittpunkt mit der x-Achse — Nullstelle

Die Schnittstelle mit der $x$-Achse können wir nicht direkt an der Funktionsgleichung ablesen, aber die zweite Methode von oben hilft weiter. Für Punkte auf der $x$-Achse gilt entsprechend $\color{#1a1}{y}=0$, und wir erhalten den zugehörigen $x$-Wert, indem wir den Funktionsterm gleich Null setzen:
$\begin{align*}\color{#1a1}{0}&=-\tfrac 12\color{#f00}{x}+2{,}5&&|-2{,}5\\-2{,}5&=-\tfrac 12\color{#f00}{x}&&|:\left(-\tfrac 12\right)\\ \color{#f00}{5}&=\color{#f00}{x}\end{align*}$

Man sagt, die Gerade schneidet die $x$-Achse an der Stelle (das ist nur der $x$-Wert) $x=5$. Weil der Funktionswert Null ist, nennt man diese Stelle Nullstelle. Der Schnittpunkt (beide Koordinaten) mit der $x$-Achse hat die Koordinaten $N(\color{#f00}{5}|\color{#1a1}{0})$.
Hinweis: Manche Lehrer wollen die Koordinaten des Punktes, wenn sie nach der Nullstelle fragen. Achten Sie daher auf die übliche Sprechweise Ihres Lehrers!

Auch das gilt wieder allgemein:

Man bestimmt die Nullstellen einer Funktion, indem man ihren Funktionsterm gleich Null setzt und nach der Variablen (meist $x$) auflöst.

Bedeutung der Achsenschnittpunkte

Wofür braucht man die Achsenschnittpunkte?

Grundsätzlich sind sie einmal wichtig zum Skizzieren der Funktion. Bei Geraden ist das nicht so entscheidend, denn statt der Nullstelle kann man ein Steigungsdreieck verwenden. Bei schwierigeren Funktionen verraten die Nullstellen oft schon sehr viel über den Funktionsverlauf.

Zum Zweiten spielen sie in Anwendungsaufgaben eine Rolle. In der Gleichung $f(x)=-0{,}05x+33$ stehe $x$ für die Anzahl der gefahrenen Kilometer und $f(x)$ für den Tankinhalt eines Autos in Litern. Dann gibt die Schnittstelle mit der $y$-Achse den Tankinhalt zu Beginn der Fahrt ($x=0$) an, also hier 33 Liter. Die Schnittstelle mit der $x$-Achse gibt an, nach wie viel Kilometern der Tank leer ist, hier nach 660 Kilometern.

Anzahl der Achsenschnittpunkte

Geraden y=1, x=-2, Ursprungsgerade y=1,5x

Im obigen Beispiel hat die Gerade je einen Schnittpunkt mit der $x$-Achse und der $y$-Achse. Das ist nicht immer so, wie die Sonderfälle zeigen.

Bei den Ursprungsgeraden fallen die beiden Achsenschnittpunkte im Ursprung $O(0|0)$ zusammen.

Achsenparallele Geraden schneiden die Achse jeweils nur in einem Punkt. Zum Beispiel schneidet die zur $y$-Achse parallele Gerade $\color{#f00}{x}=-2$ nur die $x$-Achse, und zwar im Punkt $N(\color{#f00}{-2}|0)$. Entsprechend schneidet die Gerade $\color{#1a1}{y}=1$ nur die $y$-Achse, und zwar im Punkt $S_y(0|\color{#1a1}{1})$.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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