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Mathematik in der Oberstufe

Parallele Geraden

Bei parallelen Geraden hängen die Steigungen auf bestimmte Weise voneinander ab. Diese Beziehung untersuchen wir hier und wenden sie auf typische Aufgaben an.

Bedingung für Parallelität

Vermutlich ahnen Sie schon, woran man erkennt, ob zwei Geraden parallel sind. In der folgenden Grafik können Sie an den roten Punkten ziehen (sie rasten nur auf den Gitterpunkten ein) und die Steigungsdreiecke betrachten, um Ihre Vermutung zu bestätigen.

Zwei Geraden $g$ und $h$ sind parallel, wenn ihre Steigungen $m_1$ und $m_2$ gleich sind. In Zeichen: $g\parallel h\; \Leftrightarrow \; m_1=m_2$.

Das setzt natürlich voraus, dass man die Steigung der Geraden bestimmen kann. Wenn der Sonderfall vorliegt, dass mindestens eine der Geraden parallel zur $y$-Achse ist und man ihr deshalb keine Steigung zuordnen kann, dann muss aber auch die zweite parallel zur $y$-Achse sein. Das können Sie in der obigen Grafik sehen, wenn Sie die beiden Punkte der blauen Geraden übereinander anordnen. Beide Geraden sind dann von der Form $x=a$.

Stimmen bei zwei Geraden nicht nur die Steigungen, sondern auch die Achsenabschnitte überein, so sind sie identisch. Zwei nicht identische Geraden mit gleicher Steigung nennt man in Abgrenzung zum Oberbegriff parallel daher auch echt parallel.

Beispiele für typische Aufgaben

Untersuchung auf Parallelität

Sind beide Geraden in der Hauptform gegeben, so sieht man unmittelbar an der Steigung, ob die Geraden parallel sind. Daher wird dieser Typ von Aufgabe meist indirekt gestellt.

Beispiel 1: Untersuchen Sie, ob die Geraden $g_1(x)=1{,}3x+2$ und $g_2\colon 4x-3y=6$ parallel sind.

Lösung: Die Steigung $m_1=1{,}3$ lässt sich ablesen; $g_2$ muss erst in die Normalform gebracht werden:

$\begin{align*}4x-3y&=6&&|-4x\\-3y&=-4x+6&&|:(-3)\\y&=\tfrac 43x-2\end{align*}$

Wegen $m_2=\frac 43\not= m_1$ sind die Geraden also nicht parallel, auch wenn sich die Steigungen nur geringfügig unterscheiden. Mit bloßem Auge erkennt man in einer Skizze keinen Unterschied.

Beispiel 2: Untersuchen Sie, ob die Gerade $g(x)=-2x+3$ parallel zur Geraden $h$ durch die Punkte $A(30|55)$ und $B(38|39)$ ist.

Lösung: Die Steigung der ersten Geraden kann als $m_1=-2$ wieder abgelesen werden, die zweite muss mithilfe der Steigungsformel berechnet werden:

$m_2=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{39-55}{38-30}=\dfrac{-16}{8}=-2=m_1$. Die Geraden sind also parallel.

Bestimmung einer parallelen Geraden

Beispiel 3: Gegeben ist die Gerade $g$ mit der Gleichung $g(x)=0{,}75x-1$. Gesucht ist die Gleichung der Parallelen $h$ durch den Punkt $P(-2|1)$.

Lösung: Die parallele Gerade hat die gleiche Steigung, also $m=\color{#a61}{0{,}75}$. Gesucht ist der neue Achsenabschnitt $b$, den wir durch Einsetzen von $m$ und $P(\color{#f00}{-2}|\color{#1a1}{1})$ in die Normalform (oder in die Punktsteigungsform) ermitteln können:

$\begin{align*}\color{#1a1}{1}&=\color{#a61}{0{,}75}\cdot (\color{#f00}{-2})+b\\1&=-1{,}5+b &&|+1{,}5\\2{,}5&=b\\h(x)&=0{,}75x+2{,}5\end{align*}$

Natürlich lassen sich die gegebenen Daten in den Beispielen beliebig kombinieren.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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