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Mathematik in der Oberstufe

Zeichnen und Ablesen von Geraden

Eine Gerade kann allein mithilfe ihrer Gleichung gezeichnet werden, sofern die Zahlen einigermaßen „glatt“ sind. Umgekehrt lässt sich unter gleichen Umständen ihre Gleichung aus einem Graphen ermitteln.

Eine Geraden mithilfe ihrer Funktionsgleichung zeichnen

Zum Zeichnen einer Geraden benötigt man den Achsenabschnitt und ein Steigungsdreieck. Letzteres wird in der Oberstufe nicht mehr ausdrücklich eingezeichnet, sondern man zählt quasi Kästchen und trägt nur die markierten Punkte ein.

In der folgenden Grafik können Sie den Einfluss von $m$ und $b$ beobachten, wenn Sie die Schieberegler betätigen. Die Schrittweite beträgt jeweils $0{,}5$ – solche Werte lassen sich genau auf das übliche Karopapier eintragen.

Zum Zeichnen einer Geraden von Hand lässt sich daraus die folgende Vorgehensweise ableiten:

  • Man geht zuerst zum Schnittpunkt $S_y(0|b)$ auf der $y$-Achse.
  • Von dort aus trägt man das Steigungsdreieck ab: man geht üblicherweise einen Schritt nach rechts und dann so viele Schritte nach oben oder unten, wie die Steigung angibt. Dies ergibt einen zweiten Punkt.
  • Man verbindet die beiden Punkte zu einer Geraden.

Hier ergeben sich meist zwei Fragen:

  • Kann man vom Achsenabschnitt aus auch nach links gehen?
    Ja, das ist möglich. Allerdings muss man dann auch die Richtung oben/unten anpassen: Ist zum Beispiel $m=2$ und geht man einen Schritt nach links, so muss man zwei Schritte nach unten gehen.
    Da es hier leicht zu Verwechslungen kommt, empfehle ich, immer nach rechts zu gehen. Das Vorzeichen von $m$ gibt dann an, ob man nach oben oder unten gehen muss.
  • Wie gehe ich vor, wenn die Steigung sehr klein oder ein Bruch ist?
    Nun, auch eine kleine Steigung wird in einen Bruch verwandelt – zum Beispiel $m=0{,}4= \frac{4}{10}=\frac 25$. Man muss also nur wissen, wie man Brüche geschickt einträgt. Das erfahren Sie im folgenden Abschnitt.

Die Steigung ist ein Bruch

Eine Gerade mit der Steigung $m=0{,}4$ lässt sich nur sehr ungenau zeichnen, wenn man einen Schritt nach rechts und $0{,}4$ nach oben geht. Da die Steigung überall gleich ist, kann man aber auch mehrere Schritte aneinanderhängen: zwei Schritte nach rechts bedeutet $2\cdot 0{,}4=0{,}8$ Schritte nach oben, drei Schritte nach rechts bedeutet $3\cdot 0{,}4=1{,}2$ Schritte nach oben und so weiter.

Wenn die Steigung als Bruch dargestellt ist, sieht man auch leicht eine sehr günstige Möglichkeit: wenn man so viele Schritte nach rechts geht, wie der Nenner angibt, ist die Anzahl der Schritte nach oben bzw. unten eine ganze Zahl, wegen $0{,}4=\frac 25 $ hier $5\cdot \frac 25=2$.

Beliebte Frage: Ist das immer so? Ja! Ist $m=\frac zn$ und multipliziert man mit dem Nenner $n$, so kann man ja kürzen: $n\cdot \frac zn=\frac{n\cdot z}{n}=z$.

Ist die Steigung eine Bruchzahl, so geht man so viele Schritte nach rechts, wie der Nenner angibt, und so viele Schritte nach oben/unten, wie der Zähler angibt. Ein eventuell vorhandenes Minus wird der Einfachheit halber zum Zähler gerechnet.

Letzteres geht immer, denn es gilt ja beispielsweise $\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}=\frac{-2}{3}$.

In der folgenden Grafik können Sie wieder ausprobieren, wie sich die Steigung bei verschiedenen Brüchen verhält.

Bei einer Geraden mit der Gleichung $f(x)=1{,}23x-0{,}87$ ist das obige Verfahren natürlich nicht geeignet. In dem Fall berechnet man zwei Punkte, trägt diese in das Koordinatensystem ein und verbindet sie. Die Punkte sollten nicht zu nahe beieinander liegen, damit die Zeichnung nicht zu ungenau wird.

Die Gleichung aus einem Graphen ablesen

Voraussetzung für das Ablesen ist ein „glatter“ Achsenabschnitt; er sollte also genau auf dem Koordinatengitter liegen. Für die Steigung suchen wir uns einen weiteren Punkt, der ebenfalls auf dem Koordinatengitter liegt.

In der folgenden Grafik können wir $b=2{,}5$ ablesen. Wenn wir nur den üblichen einen Schritt nach rechts gehen und dann nach unten zur Geraden hin, so liegt der Punkt nicht auf dem Gitter. Der eingekreiste Punkt eignet sich daher nicht.

Wenn wir dagegen sieben Schritte nach rechts gehen, müssen wir genau vier Schritte nach unten gehen, um zur Geraden zu gelangen. Die Steigung beträgt damit $m=\frac{-4}{7}=-\frac 47$, und die Funktionsgleichung lautet $f(x)=-\frac 47x+2{,}5$.

Kann man auch 3,5 Schritte nach rechts und 2 nach unten gehen? Ja, das ist in Ordnung, denn auch dieser Punkt liegt auf dem Gitter. Den entstehenden Bruch „verschönert“ man allerdings, da die Mischung von Dezimalzahl und Bruch unerwünscht ist. Hier erweitert man mit zwei und erhält natürlich den gleichen Wert wie vorher: $m=\frac{-2}{3{,}5}=-\frac 47$.

Ist der Achsenabschnitt nicht eindeutig abzulesen, muss man die Gleichung der Geraden berechnen.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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