Lineare Funktionen und Geraden – Grundbegriffe

In der Mittelstufe haben Sie als einfachste Funktionen die linearen Funktionen kennengelernt, die eine Gerade ergeben, wenn man sie in ein Koordinatensystem zeichnet. Dabei verwendet man meistens die Schreibweise $y=m\cdot x+b$. In manchen Büchern schreibt man auch $y=m\cdot x+n$ oder $y=a\cdot x+b$.

Auf dieser Seite gehe ich davon aus, dass Sie sich noch an diese einfachste Darstellung der Geraden erinnern. Alles darüber hinaus wird wiederholt und ein wenig neu und erweitert dargestellt, da das Thema grundlegend für weite Bereiche der Oberstufe ist. Falls Sie gar nichts von Geraden wissen, können Sie beim Freetutor vorbeischauen, der das Thema für die Mittelstufe erklärt.

Lineare Funktion

Eine Funktion mit der Gleichung $y=m\cdot x+b$ heißt lineare Funktion; ihr Graph ist eine Gerade.

Der Parameter $b$ gibt den y-Achsenabschnitt an, also den Schnittpunkt $S_y(0|b)$ der Geraden mit der $y$-Achse.

Der Parameter $m$ ist die Steigung und gibt an, ob die Gerade steigt ($m>0$) oder fällt ($m<0$). Für $m=0$ erhält man eine zur $x$-Achse parallele Gerade.

Gerade mit Achsenabschnitt und Steigungsdreieck

Zum Begriff steigen/fallen: diese Vorstellung orientiert sich daran, dass man nach rechts geht, also in Richtung wachsender $x$-Werte. Wachsen dann auch die $y$-Werte, so spricht man von einer steigenden Geraden. Die Gerade fällt, wenn die $y$-Werte kleiner werden.

Schreibweisen

Die Darstellung $y=m\cdot x+b$ oder $f(x)=m\cdot x+b$ heißt Normalform oder Hauptform der Geraden.

Spätestens dann, wenn man mehrere Geraden untersucht, muss man sie unterscheiden können: man gibt ihnen einen Namen. Bei Geraden schreibt man oft $g\colon y=m\cdot x+b$ oder gleich $g(x)=m\cdot x+b$.

Wenn in Büchern zwei Geraden gegeben sind, werden Sie oft sehen, dass die Namen in der ersten Schreibweise üblicherweise $g$ und $h$ lauten, in der zweiten dagegen $f(x)$ und $g(x)$. Das ist schlicht Gewohnheit und hat keine tiefere Bedeutung.

Die Darstellung $g\colon Ax+By=C$ heißt allgemeine Form der Geraden. Dabei dürfen $A$ und $B$ nicht gleichzeitig Null sein.

Sehr oft lässt sich die allgemeine Form in die Hauptform überführen. Beispiel:

$\begin{align*}4x+3y&=9 &&|-4x\\ 3y&=-4x+9&&|:3\\y&=-\tfrac 43x+3\end{align*}$

Es geht allerdings nicht, wenn das $y$ nicht vorkommt, zum Beispiel bei $3x=6$. In diesem Fall kann man nur nach $x$ auflösen, indem man durch drei dividiert: $x=2$. Wenn man nicht nach $y$ auflösen kann, liegt zwar noch eine Gerade vor, aber keine lineare Funktion mehr. Dies wird bei den Sonderfällen besprochen.

Lineare Funktion als ganzrationale Funktion ersten Grades

Den folgenden Abschnitt können Sie vorläufig überspringen — solange Sie nur Geraden und Parabeln untersuchen, kommen Sie meistens ohne den Begriff aus.

Mit Betonung der Potenzen kann man die lineare Funktion wegen $x^1=x$ und $x^0=1$ auch als $f(x)=m\cdot x^1+b\cdot x^0$ schreiben. Wenn bei einer Funktion die Variable nur mit natürlichen Exponenten (Null eingeschlossen) potenziert wird, nennt man die Funktion ganzrational. Die größte Hochzahl nennt man den Grad der Funktion. Man sagt: eine lineare Funktion mit $m\not= 0$ ist eine ganzrationale Funktion ersten Grades.

Beispiele für lineare Funktionen und demnach ganzrationale Funktionen ersten Grades:

$f(x)=-3x+5$: hier ist $m=-3$ und $b=5$.
$f(x)=\frac 23 x$: hier ist $b=0$.
$f(x)=\sqrt{2}\,x+1$: Die Wurzel gehört nur zur Steigung $m$ und ist eine – wenn auch sehr „krumme“ (mathematisch ausgedrückt: irrationale) – Zahl.

Der Graph von $f(x)=2$ ist zwar eine Gerade, die Funktion aber wegen $m=0$ genau genommen keine ganzrationale Funktion ersten, sondern nullten Grades. Sie ist eine konstante Funktion, wird jedoch üblicherweise im Schulbereich gemeinsam mit den linearen Funktionen behandelt.

Dagegen ist $f(x)=\frac 2x+4$ keine lineare Funktion, noch nicht einmal eine ganzrationale, denn die Variable steht im Nenner.

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