Gerade aus zwei Punkten ermitteln

Wie berechne ich die Gleichung einer Geraden, wenn zwei Punkte gegeben sind? Dies untersuchen wir hier, und zwar auch für Sonderfälle.

Berechnung der Steigung aus zwei Punkten

Steigung aus P(1|1) und Q(5|4) Machen Sie sich noch einmal bewusst, wie Sie vorgehen, wenn Sie aus einer Zeichnung die Steigung herausfinden sollen: Sie wählen zwei Punkte, zeichnen das Steigungsdreieck ein und ermitteln dann, wie viele Schritte Sie nach rechts und anschließend nach oben oder unten gehen müssen. Die entsprechenden Werte dividieren Sie.

In der nebenstehenden Skizze geht man beispielsweise vier Schritte nach rechts. Rechnerisch ergibt sich die vier als Differenz der $x$-Werte: $5-1=4$. Für die $y$-Richtung verfährt man genauso.

Differenzen werden manchmal mit $\Delta$ (Delta) bezeichnet, zum Beispiel $\Delta x=x_2-x_1$. Hier die vollständige Grafik:

Gerade durch zwei Punkte P(x_1|y_1) und Q(x_2|y_2)

Berechnen wir beide Differenzen und dividieren sie, so erhalten wir die Steigung:

Kennt man von einer Geraden zwei Punkte $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ mit $x_1 \not= x_2$, so berechnet man ihre Steigung mit der Formel
\[m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]

Berechnen der Geradengleichung

Gesucht ist die Gleichung der Geraden $g$ durch die Punkte $A(\color{#f00}{-2}|\color{#1a1}{1})$ und $B(\color{#f61}{8}|\color{#a61}{6})$.

Wir berechnen zunächst die Steigung:
$m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{\color{#a61}{6}-\color{#1a1}{1}}{\color{#f61}{8}-(\color{#f00}{-2})}=\dfrac{5}{10}=\dfrac 12$

Anschließend setzen wir in die Punktsteigungsform ein:
$\begin{align*}y&=m(x-x_1)+y_1\\ &=\tfrac 12(x-(\color{#f00}{-2}))+\color{#1a1}{1}\\&=\tfrac 12x+1+1\\ y&=\tfrac 12x+2\end{align*}$

Die gesuchte Gerade hat also die Gleichung $g\colon y=\tfrac 12x+2$.

Natürlich können Sie im zweiten Schritt auch andere Wege verwenden (den Punkt $B$ einsetzen; in die Normalform einsetzen).

Was geschieht, wenn man die Koordinaten der Punkte in anderer Reihenfolge in die Steigungsformel einsetzt? Wir erhalten dieselbe Steigung, wie es sein muss:
$m=\dfrac{1-6}{-2-8}=\dfrac{-5}{-10}=\dfrac 12$
Sowohl im Zähler als auch im Nenner entsteht ein anderes Vorzeichen, was sich beim Dividieren wieder „aufhebt“. Es ist hier also nicht schlimm, wenn Sie die Reihenfolge der Punkte vertauschen. Es gibt jedoch in der Mathematik so viele Strukturen vom Typ „Ende minus Anfang“, dass ich Ihnen empfehle, bei der oben aufgeführten Form zu bleiben. In vielen anderen Fällen ist die Reihenfolge wichtig.

Die Zweipunkteform

Fassen wir zusammen, wie wir oben vorgegangen sind:

Sind zwei Punkte $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ mit $x_1\not= x_2$ gegeben, so bestimmt man die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte, indem man

erst die Steigung $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ berechnet und diese dann
in die Punktsteigungsform $y=m(x-x_1)+y_1$ einsetzt.

Dieses Verfahren ist sehr sinnvoll: die Rechenschritte bleiben überschaubar, und die Fehlerquote ist gering. Gelegentlich fasst man die beiden Schritte zusammen, indem man die Formel für die Steigung in die Punktsteigungsform einsetzt:

Sind zwei Punkte $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ mit $x_1\not= x_2$ gegeben, so erhält man die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte mithilfe der Zweipunkteform \[y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot (x-x_1)+y_1\]

Meiner Meinung gewinnt man mit der Formel nichts. Die Rechnung wird unübersichtlicher, sodass es eher zu Fehlern kommt. Machen Sie also lieber zwei Schritte, wenn Sie nicht zu einem bestimmten Verfahren gezwungen sind.

Sonderfälle

Nur der erste Fall ist ein echter Sonderfall; die anderen beiden Fälle können auch wie oben behandelt werden.

Die x-Werte sind gleich

Parallelen zu den Koordinatenachsen Bisher haben wir immer ausgeschlossen, dass die $x$-Koordinaten der beiden Punkte gleich sind. Dann wäre nämlich $\Delta x=0$ und die Steigung nicht definiert, weil man nicht durch Null dividieren kann.

Im nebenstehenden Bild sind die Punkte $P(2|-1,5)$ und $Q(2|1)$ gegeben. Natürlich legen auch diese beiden Punkte eine Gerade fest (jedoch keine lineare Funktion, deswegen der echte Sonderfall), und zwar die Gerade $g\colon x=2$.

Die Gerade ist also vom Typ $x=$ gemeinsame $x$-Koordinate.

Die y-Werte sind gleich

Die Gerade durch die Punkte $A(-1|-1)$ und $B(1|-1)$ lässt sich zwar mit der ausführlichen Methode berechnen, aber schneller geht es, wenn Sie den Typ $y=$ gemeinsame $y$-Koordinate erkennen, also hier $g\colon y=-1$.

Einer der beiden Punkte ist der Schnittpunkt mit der y-Achse

Die Gerade gehe durch die Punkte $C(8|7)$ und $D(0|5)$. Natürlich geht es mit der Standardmethode, aber es gibt weitere Möglichkeiten, da man am Punkt $D$ den Achsenabschnitt $b=5$ unmittelbar ablesen kann. Die Steigung $m$ lässt sich über die Formel berechnen oder durch Einsetzen von $C$ in die Normalform:
$\begin{align*}y&=mx+5\\7&=m\cdot 8+5&&|-5\\2&=8m &&|:8\\ \tfrac 14 &=m && && g\colon y=\tfrac 14 x+5\end{align*}$
Führen Sie probehalber die Rechnung mit der Steigungsformel durch.

Übungsaufgaben

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