Gegenseitige Lage von Parabel und Gerade

Hat man zwei Funktionen gegeben, so wird direkt nach Schnittpunkten oder etwas indirekter nach der gegenseitigen Lage gefragt. Damit ist gemeint, ob sich die zugehörigen Graphen schneiden und wenn ja, in welchen Punkten. Auf dieser Seite untersuchen wir die Lage einer Parabel (Graph einer quadratischen Funktion) und einer Geraden (Graph einer linearen Funktion).

Anschauung

Schauen Sie sich zunächst in der Grafik an, wie eine Parabel und eine Gerade liegen können. Die Parabel ist fest gewählt; die Parameter (Steigung und Achsenabschnitt) der Geraden können Sie mithilfe der Schieberegler verändern. Falls die gemeinsamen Punkte außerhalb des Zeichenbereichs liegen, können Sie sie heranzoomen, indem Sie auf das „-“ in der kleinen Navigationsleiste rechts unten klicken. Mit Klick auf „$\circ$“ kommen Sie in einem Schritt wieder zur ursprünglichen Größe.

Gegeben sind eine Parabel $f(x)=ax^2+bx+c$ und eine Gerade $g(x)=mx+n$. Die Gerade heißt
Sekante, wenn sie mit der Parabel zwei Punkte,
Tangente, wenn sie mit der Parabel einen Punkt,
Passante, wenn sie mit der Parabel keinen Punkt gemeinsam hat.
Ist die Gerade eine Tangente, so nennt man den Schnittpunkt auch Berührpunkt.

Für den Sonderfall der senkrechten Geraden (Gleichung $x=u$; keine Funktion!) schneidet die Gerade die Parabel stets in einem Punkt, der dann aber kein Berührpunkt ist.

Berechnungsverfahren

Damit Sie die verschiedenen Ergebnisse in der Grafik verfolgen können, verwende ich in den Beispielen stets die Parabel mit der Gleichung $f(x)=\frac{1}{4} x^2-\frac{1}{2}x+1$. Zu bestimmen ist jeweils die Lage der Geraden $g$, $h$ bzw. $i$ zur Parabel. Sind gemeinsame Punkte vorhanden, so sollen die Koordinaten bestimmt werden.

Beispiel 1: Gegeben ist die Gerade $g(x)=-\frac{1}{2}x+5$.

Lösung: Wir suchen nach den Werten $x$, für die die Funktionsterme den gleichen Wert $y$ annehmen. Dafür setzen wir die Funktionsterme gleich:

$\begin{align*} f(x)&=g(x)\\ \tfrac{1}{4} x^2-\tfrac{1}{2}x+1&=-\tfrac{1}{2} x+5\\ \end{align*}$

Ein Blick auf die Gleichung zeigt, dass der lineare Term $-\frac{1}{2} x$ verschwindet, wenn wir ihn hinüberbringen. Zur Lösung benötigen wir daher nicht die $pq$-Formel, sondern können nach kleinen Umformungen die Wurzel ziehen:

$\begin{align*} \tfrac{1}{4} x^2-\tfrac{1}{2} x+1&=-\tfrac{1}{2} x+5 & &|+\tfrac{1}{2} x-1\\ \tfrac{1}{4} x^2&=4& &|:\tfrac{1}{4} \text{ bzw. } \cdot 4\\ x^2&=16& &|\sqrt{\phantom{{}6}}\\ x_{1}&=\color{#f00}{4}\\ x_{2}&=\color{#18f}{-4}\\ \end{align*}$

Da wir zwei verschiedene Lösungen erhalten haben, gibt es zwei Schnittpunkte, und die Gerade ist eine Sekante. Die zweite Koordinate erhalten wir, indem wir die $x$-Werte in einen der beiden Funktionsterme einsetzen. Fast immer ist die Geradengleichung einfacher, sodass wir diese verwenden:

$\begin{align*} g(\color{#f00}{4})&=-\tfrac{1}{2} \cdot \color{#f00}{4}+5=\color{#1a1}{3} & &P_1(\color{#f00}{4}|\color{#1a1}{3})\\ g(\color{#18f}{-4})&=-\tfrac{1}{2} \cdot (\color{#18f}{-4})+5=\color{#a61}{7} & &P_2(\color{#18f}{-4}|\color{#a61}{7}) \end{align*}$

Beispiel 2: Gegeben ist die Gerade $h(x)=x-1{,}25$.

Lösung: Wir setzen wieder gleich. In diesem Fall ist die $pq$-Formel erforderlich, da weder das lineare noch das absolute Glied verschwindet. Wer im Term $x^2-6x+9$ die binomische Formel erkennt, kann natürlich auch damit arbeiten.

$\begin{align*} \tfrac{1}{4} x^2-\tfrac{1}{2} x+1&=x-1{,}25& &|-x+1{,}25\\ \tfrac{1}{4} x^2-\tfrac{3}{2}x+2{,}25&=0& &|:\tfrac{1}{4} \text{ bzw. } \cdot 4\\ x^2-6x+9&=0& &|\, pq\text{-Formel}\\ x_{1,2}&=3\pm\sqrt{3^2-9}\\ x_{1}&=3\\ x_{2}&=3\\ \end{align*}$

Da wir nur eine (doppelte) Lösung erhalten haben, gibt es einen Berührpunkt, und die Gerade ist eine Tangente. Für die zweite Koordinate setzen wir wieder in die Geradengleichung ein:

$h(3)=3-1{,}25=1{,}75\quad B(3|1{,}75)$

Beispiel 3: Gegeben ist die Gerade $i(x)=0{,}35x+0{,}25$.

Lösung: Wir setzen wieder gleich:

$\begin{align*} \tfrac{1}{4} x^2-\tfrac{1}{2} x+1&=0{,}35x+0{,}25& &|-0{,}35x-0{,}25\\ \tfrac{1}{4} x^2-0{,}85x+0{,}75&=0& &|:\tfrac{1}{4} \text{ bzw. } \cdot 4\\ x^2-3{,}4x+3&=0& &|\, pq\text{-Formel}\\ x_{1,2}&=1{,}7\pm\sqrt{1{,}7^2-3}\\ &=1{,}7\pm\sqrt{-0{,}11}\\ \end{align*}$

Da die Diskriminante (der Term unter der Wurzel) negativ ist, hat die Gleichung keine reelle Lösung. Somit gibt es keine gemeinsamen Punkte, und die Gerade ist eine Passante.

Wenn Sie die Gerade in der Grafik oben entsprechend einstellen, scheinen sich die Graphen der Funktionen zu berühren. Erst in der Vergrößerung (zoomen!) sieht man, dass es tatsächlich keinen gemeinsamen Punkt gibt. Diese Nähe findet rechnerisch ihren Niederschlag darin, dass die Diskriminante nahe bei Null liegt.

Zusammengesetzte Aufgabe

Häufig wird nur die Gleichung der Parabel gegeben, und die Gleichung der Geraden muss erst ermittelt werden. Dafür gibt es recht viele Möglichkeiten, die letztlich aber fast immer darauf hinauslaufen, die Gerade entweder aus zwei Punkten oder aber aus einem Punkt und der Steigung zu ermitteln. Für den letzten Fall schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 4: Eine Gerade mit der Steigung $-1{,}5$ schneidet die Parabel mit der Gleichung $f(x)=\frac{1}{4} x^2-\frac{1}{2} x+1$ an der Stelle $x=-4$. In welchem Punkt schneidet sie die Parabel ein zweites Mal?

Lösung: Um die Gleichung der Geraden aufstellen zu können, benötigen wir neben der Steigung $m=\color{#18f}{-1{,}5}$ einen Punkt, haben aber zunächst nur eine Koordinate $x=\color{#f00}{-4}$. Da der Punkt auf der Parabel liegt, können wir mithilfe der Parabelgleichung die zweite Koordinate bestimmen:

$y=f(\color{#f00}{-4})=\frac{1}{4} \cdot (\color{#f00}{-4})^2-\frac{1}{2} \cdot (\color{#f00}{-4})+1=\color{#1a1}{7}\quad$ $ \Rightarrow P(\color{#f00}{-4}|\color{#1a1}{7})$.

Zur Bestimmung der Geradengleichung verwenden wir die Normalform (auch die Punkt-Steigungsform ist möglich):

$\begin{align*} \color{#1a1}{g(x)}&=\color{#18f}{m}\color{#f00}{x}+n\\ \color{#1a1}{7}&=\color{#18f}{-1{,}5}\cdot(\color{#f00}{-4})+n\\ 7&=6+n&|-6\\ 1&=n\\ g(x)&=-1{,}5x+1\\ \end{align*}$

Nun können wir die Funktionsterme gleichsetzen. Da das absolute Glied entfällt, können wir die Gleichung durch Ausklammern lösen:

$\begin{align*} \tfrac{1}{4} x^2-\tfrac{1}{2} x+1&=-1{,}5x+1&|+1{,}5x-1\\ \tfrac{1}{4} x^2+x&=0\\ x\left(\tfrac{1}{4} x+1\right)&=0\\ x_1&=0&\text{oder}&&\tfrac{1}{4} x+1&=0& &|-1\\ &&&&\tfrac{1}{4} x&=-1& &|\cdot 4\\ &&&& x_2&=-4&\\ \end{align*}$

Da $x_2=-4$ bereits aus der Aufgabenstellung bekannt ist, ist nur noch $x_1=0$ zu berücksichtigen:
$g(0)=-1{,}5\cdot 0+1=1\;$ $\Rightarrow \; P_2(0|1)$

Die Gerade schneidet die Parabel ein zweites Mal im Punkt $P_2(0|1)$.

In der Aufgabe war die Schnittstelle $x=-4$ gegeben. In anderen Formulierungen heißt es auch „der Punkt $P(-4|f(-4))$“ oder „der Punkt $P(-4|y_P)$“. In beiden Fällen berechnet man die zweite Koordinate wie oben.

Übungsaufgaben

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