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Mathematik in der Oberstufe

Verschiebung der Normalparabel in Richtung der x-Achse

Auf dieser Seite geht es um die Verschiebung der Normalparabel nach rechts oder links.

Gleichung der verschobenen Normalparabel

Eine Parabelgleichung der Form $f(x)=(x-d)^2$ bereitet in der anschaulichen Deutung zunächst meist mehr Probleme als die Gleichung $f(x)=x^2+c$. Daher schauen wir uns am konkreten Beispiel eine Wertetabelle an:

$\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c|c|c|c}x&-3&-2&-1&0&1&2&3&4&5\\ \hline f_1(x)=x^2&\color{#13f}{9}&\color{#f00}{4}&\color{#1a1}{1}&\color{#f61}{0}&\color{#18f}{1}&\color{#b1f}{4}&\color{#a61}{9}&16&25\\ \hline f_2(x)=(x-2)^2&25&16&\color{#13f}{9}&\color{#f00}{4}&\color{#1a1}{1}&\color{#f61}{0}&\color{#18f}{1}&\color{#b1f}{4}&\color{#a61}{9}\end{array}$

Im Vergleich zur Ausgangsfunktion sind bei $f_2(x)=(x-2)^2$ alle Werte um zwei Einheiten nach rechts verschoben, nicht etwa nach links, was man wegen des negativen Zeichens bei der Zwei zunächst vermuten könnte. Aus diesem Grunde wird in der Ausgangsformel $f(x)=(x-d)^2$ auch ein Minus verwendet, um den Parameter $d$ letztlich mit dem „richtigen“ Vorzeichen einsetzen zu können.

Und so sieht es aus (zum Verändern Schieberegler verwenden):

Für den Graphen der quadratischen Funktion $f(x)=(x-d)^2$ gilt:
Die Normalparabel wird um $d$ in Richtung der $x$-Achse verschoben, und zwar nach rechts für positives $d$ und nach links für $d<0$. Der Scheitelpunkt $S(x_s|y_s)$ hat die Koordinaten $S(d|0)$, das heißt es gilt $x_s=d$ und $y_s=0$.

Das umgekehrte Vorzeichen in der Funktionsgleichung kann man sich vielleicht am besten merken, indem man sich auf den Scheitelpunkt konzentriert:
Bei der Ausgangsparabel mit der Gleichung $f(x)=x^2$ liegt der Scheitel im Koordinatenursprung $S(0|0)$. Verschiebt man die Parabel in Richtung der $x$-Achse, so ändert sich die $y$-Koordinate des Scheitels nicht, bleibt also Null. Das erreichen wir nur für $x=d$, denn dann ist $f(d)=(d-d)^2=0^2=0$.

Punktprobe

Wie bei Geraden überprüft man auch hier, ob ein Punkt auf einer Parabel liegt, indem man die Koordinaten in die zugehörige Funktionsgleichung einsetzt.

Beispiel 1: Liegt der Punkt $P(\color{#f00}{-3}|\color{#1a1}{4})$ auf dem Graphen von $f(x)=(x-1)^2$?

Lösung: Es gibt zwei Lösungswege:

  • Man setzt beide Koordinaten ein und prüft, ob eine wahre Aussage entsteht:
    $\begin{align*}(\color{#f00}{-3}-1)^2&=\color{#1a1}{4}\\ (-4)^2&=4\\16&=4&&\text{ falsche Aussage }\end{align*}$
    Da eine falsche Aussage entstanden ist, liegt der Punkt nicht auf der Parabel.
  • Man setzt nur die $x$-Koordinate ein und vergleicht anschließend mit der gegebenen $y$-Koordinate:
    $f(\color{#f00}{-3})=(\color{#f00}{-3}-1)^2=(-4)^2=16\not= \color{#1a1}{y_p}\Rightarrow P$ liegt nicht auf der Parabel.

Wäre eine wahre Aussage entstanden bzw. hätte der Funktionswert mit $y_p$ übereingestimmt, so läge der Punkt auf der Parabel.

Beispiel 2: Wie muss $x$ gewählt werden, damit der Punkt $P(\color{#f00}{x}|\color{#1a1}{9})$ auf dem Graphen der Funktion $f(x)=(x+2)^2$ liegt?

Lösung: Wir setzen die gegebenen Größen ein und lösen nach $x$ auf. Als Lösungsweg habe ich das sofortige Wurzelziehen gewählt. Sie können natürlich auch die Klammern auflösen und die $pq$-Formel anwenden.

$\begin{align*}(\color{#f00}{x}+2)^2&=\color{#1a1}{9}&&|\sqrt{{}\phantom{6}}\\x+2&=3&&\text{ oder } &x+2&=-3&&|-2\\ x_1&=1&&&x_2&=-5\end{align*}$

Die Punkte $P_1(1|9)$ und $P_2(-5|9)$ erfüllen die Bedingung.

Parabelgleichung bestimmen

Wie bei der in $y$-Richtung verschobenen Parabel gibt es auch hier zwei Möglichkeiten, die Gleichung festzulegen. Der zweite Aufgabentyp kommt in der Schule meiner Erfahrung nach zwar kaum (nicht?) vor, aber für interessierte Schüler stelle ich ein Beispiel vor.

Beispiel 3: Die Normalparabel wird um drei Einheiten nach links verschoben. Geben Sie ihre Gleichung an.

Lösung: Da die Parabel nach links verschoben werden soll, ist $d$ negativ, also $d=\color{#f00}{-3}$. Somit lautet die Gleichung
$f(x)=(x-(\color{#f00}{-3}))^2\\ f(x)=(x+3)^2$

Beispiel 4: Eine in Richtung der $x$-Achse verschobene Normalparabel geht durch den Punkt $P(\color{#f00}{5}|\color{#1a1}{4})$. Bestimmen Sie eine mögliche Gleichung.

Der Aufgabentyp ist extrem selten. Schauen wir uns die Aufgabenstellung an:

Für diese Lage des Punktes $P$ gibt es also zwei mögliche Parabeln, die die Bedingung erfüllen.

Lösung: Wir wählen den Ansatz $f(x)=(x-d)^2$. Durch die Punktprobe können wir die möglichen Werte für den Parameter $d$ ermitteln:

$\begin{align*}(\color{#f00}{5}-d)^2&=\color{#1a1}{4}&&|\sqrt{\phantom{{}6}}\\5-d&=\pm 2\\5-d&=2&& \text{ oder } &5-d&=-2&&|-5\\ -d&=-3&&&-d&=-7&&|:(-1)\\d_1&=3&&&d_2&=7\\f_1(x)&=(x-3)^2&&&f_2(x)&=(x-7)^2\end{align*}$

Auch hier habe ich als Lösungstechnik das sofortige Wurzelziehen gewählt, weil es bei der gegebenen Form schneller ist. Falls Ihnen dieser Weg nicht zusagt, können Sie natürlich auch mit der $pq$-Formel arbeiten.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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