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Mathematik in der Oberstufe

Lösungen: Lage Parabel / Gerade

Die Aufgaben beziehen sich auf den Artikel Lage von Parabel und Gerade. Wegen der dort ausführlich vorgerechneten Beispiele führe ich hier für Standardaufgaben nur Kurzlösungen an. Als wesentlichen Zwischenschritt gebe ich stets die normierte quadratische Gleichung an, auf die Sie die $pq$-Formel anwenden können. Sie können natürlich auch die ABC-Formel verwenden. In manchen Fällen ist Ausklammern oder einfaches Wurzelziehen möglich.

Sofern sich die Wurzel nicht „glatt“ ziehen lässt, runde ich die Ergebnisse auf zwei Dezimalen. Dabei sind nur die Endergebnisse gerundet; ich rechne also immer mit den exakten (gespeicherten) Zwischenergebnissen weiter. Falls Sie mit gerundeten Ergebnissen weitergerechnet haben, können sich geringfügige Abweichungen ergeben.

    1. Zeichnung:
      Normalparabel und Gerade y=x/2+2
    2. Gleichung: \(x^2-\frac{1}{2} x-2=0\)
      Schnittpunkte \(P_1(1{,}69|2{,}84); \quad P_2(-1{,}19|1{,}41)\)
    1. Gleichung: \(x^2-\frac{2}{3} x-\frac{5}{3}=0\)
      Die Gerade ist eine Sekante.
      Schnittpunkte \(P_1\left(\frac{5}{3}\big|-\frac{8}{9}\right); \quad P_2(-1|0)\)
    2. Gleichung: \(x^2-5 x+7=0\)
      Die Gerade ist eine Passante.
    3. Gleichung: \(x^2+3 x+2{,}25=0\)
      Die Gerade ist eine Tangente.
      Berührpunkt \(B(-1{,}5|9)\)
    4. Parabelgleichung in allgemeiner Form/Polynomform: \(f(x)=\frac{1}{4} x^2-x-2\)
      Gleichung:
      • Wenn Sie die Gleichung durch Ausklammern lösen möchten, sollten Sie auf \(x\left(\frac{1}{4} x-\frac{3}{2}\right)=0\) oder \(x(x-6)=0\) kommen.
      • Wenn Sie die $pq$-Formel verwenden möchten, sollten Sie auf \(x^2-6x=0\) kommen.
      Die Gerade ist eine Sekante.
      Schnittpunkte \(P_1(0|-2); \quad P_2(6|1)\)
  1. (Zusatzaufgaben)
    1. Gleichung: $x^2-6 x+7=0$
      Die Gerade ist eine Sekante.
      Schnittpunkte $P_1(4{,}41|23{,}90); \quad P_2(1{,}59|4{,}10)$
    2. Parabelgleichung in allgemeiner Form/Polynomform: $f(x)=x^2+3x-2$
      Gleichung: $x^2=0$
      Die Gerade ist eine Tangente.
      Berührpunkt $B(0|-2)$
    3. Gleichung: $x^2=100$
      Die Gerade ist eine Sekante.
      Schnittpunkte $P_1(10|0); \quad P_2(-10|80)$
    4. Gleichung: $x^2+8 x+32=0$
      Die Gerade ist eine Passante.
    5. Gleichung: $x^2+\frac{2}{3} x-\frac{8}{9}=0 $
      Die Gerade ist eine Sekante.
      Schnittpunkte $P_1\left(\frac{2}{3}\big|3\right); \quad P_2\left(-\frac{4}{3}\big|21\right)$
    1. Gleichung: $x^2-10x+25=0$
      Die Gerade ist eine Tangente.
      Berührpunkt $B(5|13)$
    2. Die beiden Geraden sind parallel zur ursprünglichen Geraden $g$, entstehen aus ihr also durch Verschiebung nach oben ($h$ wegen des größeren Achsenabschnitts) bzw. unten ($i$).
      Die Parabel ist wegen $a=\frac{1}{5} >0$ nach oben geöffnet. Verschiebt man die Tangente $g$ nach oben, so entstehen zwei Schnittpunkte; verschiebt man sie nach unten, schneidet sie die Parabel nicht mehr. Daher gilt:
      $h$ ist eine Sekante.
      $i$ ist eine Passante.
      Bild dazu:
      Parabel und mehrere parallele Geraden
  2. Parabelgleichung in allgemeiner Form/Polynomform: $f(x)=\frac{1}{2}x^2-x-\frac{15}{2}$
    1. Gleichung: $x^2+2x+1=0$
      Die Gerade ist eine Tangente.
      Berührpunkt $B(-1|-6)$
    2. $y_p=f(3)=\frac{1}{2} (3-1)^2-8=-6 \quad \Rightarrow \quad P(3|-6)$
      Eine verschobene Gerade hat die gleiche Steigung, also $m=-2$.
      $\begin{align*} h(x)&=mx+n\\ -6&=-2\cdot 3+n& &|+6\\ 0&=n\\ h(x)&=-2x \end{align*}$
      Gleichsetzen führt auf die Gleichung
      $x^2+2x-15=0\quad \Rightarrow \quad x_1=3; \, x_2=-5$
      Zweiter Schnittpunkt: $P_2(-5|10)$
  3. Gegeben sind die Parabel $f(x)=-\frac{1}{2} x^2+3x-3$ und die Gerade $g(x)=5-x$.
    1. Gleichung: $x^2-8x+16=0$
      Die Gerade ist eine Tangente.
      Berührpunkt $B(4|1)$
    2. Die Geraden $g(x)=5-x=-x+5$ und $h(x)=-x+n$ sind parallel, gehen also durch Verschiebung auseinander hervor. Die Parabel ist wegen $a=-\frac{1}{2} <0$ nach unten geöffnet. Verschiebt man die ursprüngliche Tangente nach unten, so entsteht also eine Sekante (vergleichen Sie mit Aufgabe 4); bei Verschiebung nach oben entsteht eine Passante. Die Verschiebung erkennt man am Achsenabschnitt. Damit gilt:
      $n>5$: Die Gerade ist eine Passante.
      $n<5$: Die Gerade ist eine Sekante.

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Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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