Die Normalparabel und ihre Verschiebung in y-Richtung

Auf dieser Seite geht es zunächst um die einfachste quadratische Funktion und ihre Verschiebung nach oben oder unten.

Die Normalparabel

Die allgemeine Gleichung einer quadratischen Funktion lautet $f(x)=ax^2+bx+c$. Setzen wir $a=1$, $b=0$ und $c=0$, so erhalten wir die einfachste quadratische Funktion mit der Gleichung $f(x)=x^2$. Ihr Graph heißt Normalparabel:

Ihr Scheitelpunkt $S(0|0)$ liegt im Ursprung.

Damit keine Missverständnisse aufkommen: der Begriff Normalparabel wird oft für alle Graphen mit $a=1$ verwendet. Die Parameter $b$ und $c$ müssen also nicht zwangsläufig Null sein. Sehen Sie jedoch den Begriff ohne weitere Zusätze, so ist damit auf jeden Fall der Graph von $f(x)=x^2$ gemeint.

Verschieben der Normalparabel nach oben oder unten

Etwas interessanter wird es nun, wenn wir die Parabel bestimmten Veränderungen unterwerfen. Als erstes untersuchen wir die Graphen von $f(x)=x^2+c$ (zum Verändern Schieberegler verwenden):

Für den Graphen der quadratischen Funktion $f(x)=x^2+c$ gilt:
Die Normalparabel wird um $c$ Einheiten in Richtung der $y$-Achse verschoben, und zwar nach oben für positives $c$ und nach unten für $c<0$. Der Scheitelpunkt $S(x_s|y_s)$ hat die Koordinaten $S(0|c)$, das heißt es gilt $x_s=0$ und $y_s=c$.

Punktprobe bei (verschobenen) Normalparabeln

Wie bei Geraden überprüft man auch hier, ob ein Punkt auf einer Parabel liegt, indem man die Koordinaten in die zugehörige Funktionsgleichung einsetzt.

Beispiel 1: Liegt der Punkt $P(\color{#f00}{-1{,}5}|\color{#1a1}{1{,}25})$ auf dem Graphen von $f(x)=x^2-1$?

Lösung: Es gibt zwei Lösungswege:

Man setzt beide Koordinaten ein und prüft, ob eine wahre Aussage entsteht:
$\begin{align*}(\color{#f00}{-1{,}5})^2-1&=\color{#1a1}{1{,}25}\\ 2{,}25-1&=1{,}25\\1{,}25&=1{,}25&&\text{ wahre Aussage}\end{align*}$
Da eine wahre Aussage entstanden ist, liegt der Punkt auf der Parabel.
Man setzt nur die $x$-Koordinate ein und vergleicht anschließend mit der gegebenen $y$-Koordinate:
$f(\color{#f00}{-1{,}5})=(\color{#f00}{-1{,}5})^2-1=2{,}25-1=1{,}25=\color{#1a1}{y_p}$ $\Rightarrow P$ liegt auf der Parabel.

Wäre eine falsche Aussage entstanden bzw. hätte der berechnete Funktionswert nicht mit $y_p$ übereingestimmt, so läge der Punkt nicht auf der Parabel.

Beispiel 2: Bestimmen Sie $x$ so, dass der Punkt $P(\color{#f00}{x}|\color{#1a1}{6{,}41})$ auf der Parabel mit der Gleichung $f(x)=x^2+2$ liegt.

Lösung: Wir setzen die gegebenen Größen ein und lösen nach $x$ auf:

$\begin{align*}\color{#f00}{x}^2+2&=\color{#1a1}{6{,}41}&&|-2\\x^2&=4{,}41&&|\sqrt{\phantom{{}6}}\\x_{1,2}&=\pm 2{,}1\end{align*}$

Es gibt also zwei Punkte, die die Bedingung erfüllen: $P_1(2{,}1|6{,}41)$ und $P_2(-2{,}1|6{,}41)$.

Parabelgleichung bestimmen

Bei unserer noch recht einfachen Parabel gibt es zwei Möglichkeiten, sie festzulegen.

Beispiel 3: Die Normalparabel wird um zwei Einheiten nach unten verschoben. Geben Sie ihre Gleichung an.

Lösung: Zu rechnen gibt es nichts: $c=-2$ lässt sich unmittelbar dem Aufgabentext entnehmen, und somit lautet die Gleichung $f(x)=x^2-2$.

Beispiel 4: Eine in Richtung der $y$-Achse verschobene Normalparabel geht durch den Punkt $P(\color{#f00}{4}|\color{#1a1}{25})$. Bestimmen Sie ihre Gleichung.

Lösung: Nun ist $c$ unbekannt, und wir wählen den Ansatz $f(x)=x^2+c$. Durch die Punktprobe können wir den Parameter ermitteln:

$\begin{align*}\color{#f00}{4}^2+c&=\color{#1a1}{25}\\16+c&=25&&|-16\\c&=9\\f(x)&=x^2+9\end{align*}$

Übungsaufgaben

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