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Mathematik in der Oberstufe

Lösungen: Achsenschnittpunkte einer Parabel

Ausführlich vorgerechnete Beispiele finden Sie im Artikel über die Achsenschnittpunkte.

  1. Achsenschnittpunkte der Parabeln
    1. $S_y(0|3)$; $N_1(-1|0)$; $N_2(-3|0)$
    2. $S_y(0|6)$; keine Nullstellen
    3. $S_y(0|-3)$; $N_{1,2}(-2|0)$ (Berührpunkt wegen doppelter Nullstelle)
    4. $S_y(0|0)$; $N_1(0|0)$; $N_2(-2|0)$. Die Nullstellen ermittelt man am einfachsten durch Ausklammern.
    5. $S_y(0|12)$; $N_1(4|0)$; $N_2(-3|0)$
    6. $S_y(0|-6)$; $N_1(3|0)$; $N_2(-3|0)$. Die Nullstellen ermittelt man am einfachsten durch Hinüberbringen und Wurzelziehen.
    7. $S_y(0|6)$; $N_{1,2}(6|0)$ (Berührpunkt wegen doppelter Nullstelle)
  2. Die Begründung für die Anzahl der Nullstellen kann in Worten oder formal erfolgen. Eine Variante reicht; ich habe zu Ihrer Orientierung beide Varianten angegeben.
    1. Zur Begründung:
      Es gibt zwei Nullstellen, da der Scheitelpunkt unterhalb der $x$-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist.
      oder
      $a=1>0$, $y_s=-4<0\Rightarrow $ zwei Nullstellen
      $S_y(0|5)$; $N_1(-1|0)$; $N_2(-5|0)$
    2. Es gibt zwei Nullstellen, da der Scheitelpunkt oberhalb der $x$-Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist.
      oder
      $a=-1<0$, $y_s=1>0\Rightarrow $ zwei Nullstellen
      $S_y(0|-3)$; $N_1(3|0)$; $N_2(1|0)$
    3. Es gibt keine Nullstelle, da der Scheitelpunkt oberhalb der $x$-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist (zusammengefasst: da die Parabel vollständig oberhalb der $x$-Achse liegt).
      oder
      $a=\frac 12>0$, $y_s=2>0\Rightarrow $ keine Nullstelle
      $S_y(0|10)$
    4. Es gibt eine doppelte Nullstelle, da der Scheitelpunkt auf der $x$-Achse liegt.
      oder
      $y_s=0\Rightarrow $ eine doppelte Nullstelle
      $S_y(0|5)$; $N_{1,2}(-5|0)$
    5. Es gibt keine Nullstelle, da der Scheitelpunkt unterhalb der $x$-Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist (zusammengefasst: da die Parabel vollständig unterhalb der $x$-Achse liegt).
      oder
      $a=-9<0$,$y_s=-3<0\Rightarrow $ keine Nullstelle
      $S_y(0|-7)$
    6. Es gibt zwei Nullstellen, da der Scheitelpunkt unterhalb der $x$-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist.
      oder
      $a=8>0$, $y_s=-2<0\Rightarrow $ zwei Nullstellen
      $S_y(0|6)$; $N_1(1{,}5|0)$; $N_2(0{,}5|0)$
  3. Wenn eine Parabel nur einen Punkt mit der $x$-Achse gemeinsam hat, muss ihr Scheitel auf der $x$-Achse liegen. Da laut Aufgabenstellung nur ein gemeinsamer Punkt mit beiden Achsen existieren darf, muss der Scheitel mit dem Schnittpunkt mit der $y$-Achse zusammenfallen. Zusammengefasst: der Scheitel liegt im Koordinatenursprung $O(0|0)$, und die Parabel hat die Gleichung $f(x)=ax^2$.
    Jede solche Gleichung mit $a\not= 0$ (sonst liegt keine quadratische Funktion vor!) erfüllt die Bedingung, also zum Beispiel $f(x)=x^2$ oder $f(x)=-7x^2$ oder $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{3}x^2$ oder …
  4. Die Breite der Brücke an der Basis entspricht dem Abstand der Nullstellen.
    $x_1=35$; $x_2=-35$ $\Rightarrow b=35-(-35)=70$
    Die Brücke ist 70 m breit.
  5. Die Reichweite des Rasensprengers entspricht dem Abstand der Nullstellen.
    $x_1=8$; $x_2=2$ $\Rightarrow r=8-2=6$
    Der Rasensprenger reicht 6 m weit.

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Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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