Ausführlich vorgerechnete Beispiele finden Sie im Artikel über die Achsenschnittpunkte.
Achsenschnittpunkte der Parabeln
$S_y(0|3)$; $N_1(-1|0)$; $N_2(-3|0)$
$S_y(0|6)$; keine Nullstellen
$S_y(0|-3)$; $N_{1,2}(-2|0)$ (Berührpunkt wegen doppelter Nullstelle)
$S_y(0|0)$; $N_1(0|0)$; $N_2(-2|0)$. Die Nullstellen ermittelt man am einfachsten durch Ausklammern.
$S_y(0|12)$; $N_1(4|0)$; $N_2(-3|0)$
$S_y(0|-6)$; $N_1(3|0)$; $N_2(-3|0)$. Die Nullstellen ermittelt man am einfachsten durch Hinüberbringen und Wurzelziehen.
$S_y(0|6)$; $N_{1,2}(6|0)$ (Berührpunkt wegen doppelter Nullstelle)
Die Begründung für die Anzahl der Nullstellen kann in Worten oder formal erfolgen. Eine Variante reicht; ich habe zu Ihrer Orientierung beide Varianten angegeben.
Zur Begründung:
Es gibt zwei Nullstellen, da der Scheitelpunkt unterhalb der $x$-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist. oder
$a=1>0$, $y_s=-4<0\Rightarrow $ zwei Nullstellen
$S_y(0|5)$; $N_1(-1|0)$; $N_2(-5|0)$
Es gibt zwei Nullstellen, da der Scheitelpunkt oberhalb der $x$-Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist. oder
$a=-1<0$, $y_s=1>0\Rightarrow $ zwei Nullstellen
$S_y(0|-3)$; $N_1(3|0)$; $N_2(1|0)$
Es gibt keine Nullstelle, da der Scheitelpunkt oberhalb der $x$-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist (zusammengefasst: da die Parabel vollständig oberhalb der $x$-Achse liegt). oder
$a=\frac 12>0$, $y_s=2>0\Rightarrow $ keine Nullstelle
$S_y(0|10)$
Es gibt eine doppelte Nullstelle, da der Scheitelpunkt auf der $x$-Achse liegt. oder
$y_s=0\Rightarrow $ eine doppelte Nullstelle
$S_y(0|5)$; $N_{1,2}(-5|0)$
Es gibt keine Nullstelle, da der Scheitelpunkt unterhalb der $x$-Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist (zusammengefasst: da die Parabel vollständig unterhalb der $x$-Achse liegt). oder
$a=-9<0$,$y_s=-3<0\Rightarrow $ keine Nullstelle
$S_y(0|-7)$
Es gibt zwei Nullstellen, da der Scheitelpunkt unterhalb der $x$-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist. oder
$a=8>0$, $y_s=-2<0\Rightarrow $ zwei Nullstellen
$S_y(0|6)$; $N_1(1{,}5|0)$; $N_2(0{,}5|0)$
Wenn eine Parabel nur einen Punkt mit der $x$-Achse gemeinsam hat, muss ihr Scheitel auf der $x$-Achse liegen. Da laut Aufgabenstellung nur ein gemeinsamer Punkt mit beiden Achsen existieren darf, muss der Scheitel mit dem Schnittpunkt mit der $y$-Achse zusammenfallen. Zusammengefasst: der Scheitel liegt im Koordinatenursprung $O(0|0)$, und die Parabel hat die Gleichung $f(x)=ax^2$.
Jede solche Gleichung mit $a\not= 0$ (sonst liegt keine quadratische Funktion vor!) erfüllt die Bedingung, also zum Beispiel $f(x)=x^2$ oder $f(x)=-7x^2$ oder $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{3}x^2$ oder …
Die Breite der Brücke an der Basis entspricht dem Abstand der Nullstellen.
$x_1=35$; $x_2=-35$ $\Rightarrow b=35-(-35)=70$ Die Brücke ist 70 m breit.
Die Reichweite des Rasensprengers entspricht dem Abstand der Nullstellen.
$x_1=8$; $x_2=2$ $\Rightarrow r=8-2=6$ Der Rasensprenger reicht 6 m weit.