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Mathematik in der Oberstufe

Scheitelform und allgemeine Form der verschobenen Normalparabel

Auf dieser Seite geht es um die Verschiebung der Normalparabel in Richtung beider Achsen, ihre Gleichung in Scheitelform und in allgemeiner Form sowie die Umwandlung der beiden Formen in die jeweils andere Form.

Gleichung der verschobenen Normalparabel

Die Verschiebungen in Richtung der $y$-Achse und der $x$-Achse können unabhängig voneinander kombiniert werden. Die Verschiebung der Parabel kann dabei am Scheitelpunkt abgelesen werden.

Soll die Parabel ausgehend von $g(x)=x^2$ beispielsweise um 4 nach rechts und 3 nach oben verschoben werden, so können wir erst in Richtung der $x$-Achse verschieben und erhalten als Gleichung $h(x)=(x-4)^2$. Anschließend verschieben wir die so erhaltene Parabel in $y$-Richtung und erhalten als endgültige Gleichung $f(x)=(x-4)^2+3$.

In der folgenden Grafik können Sie den roten Scheitelpunkt bewegen (in ganzen Schritten) und die Funktionsgleichung ablesen. Achten Sie auf die Vorzeichen.

Da die Verschiebungen den Koordinaten des Scheitelpunkts entsprechen, gilt also:

Der Graph der quadratischen Funktion $f(x)=(x-x_s)^2+y_s$ ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(x_s|y_s)$. Sie entsteht aus dem Graphen von $g(x)=x^2$ durch Verschieben um $x_s$ Einheiten in Richtung der $x$-Achse und $y_s$ Einheiten in Richtung der $y$-Achse.
Die Gleichung $f(x)=(x-x_s)^2+y_s$ heißt Scheitelpunktform oder Scheitelform.

Der Begriff der Normalparabel wird nicht ganz einheitlich verwendet. Ausgehend von der allgemeinen quadratischen Funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ wird darunter der Graph folgender Funktionstypen verstanden:

  • Sehr streng: nur $f(x)=x^2$, also $a=1$, $b=0$, $c=0$.
  • Etwas allgemeiner: $f(x)=x^2+bx+c$, es wird also nur $a=1$ verlangt.
  • Gelegentlich wird auch $a=-1$ zugelassen; man spricht dann von einer nach unten geöffneten Normalparabel. Der letzte Fall wird auf dieser Seite noch nicht besprochen, sondern erst bei den gestreckten Parabeln.

Scheitelpunktform und allgemeine Form

Von der Scheitelform zur allgemeinen Form

Von der Scheitelform kommen wir zur allgemeinen Form $f(x)=ax^2+bx+c$, indem wir die Klammer auflösen und zusammenfassen. Dafür wird die erste oder zweite binomische Formel benötigt.

Beispiel 1: Gesucht ist die Gleichung von $f(x)=(x-6)^2+1$ in allgemeiner Form.

Lösung: Wir wenden die zweite binomische Formel an:

$\begin{align*}f(x)&=(x-6)^2+1\\ &=x^2-12x+36+1\\f(x)&=x^2-12x+37\end{align*}$

Das war es schon.

Beispiel 2: Die Normalparabel wird vom Ursprung aus um 5 Einheiten nach links und 4 Einheiten nach unten verschoben. Bestimmen Sie ihre Gleichung in allgemeiner Form.

Lösung: Aus dem Text entnehmen wir $x_s=\color{#f00}{-5}$ (links!) und $y_s=\color{#1a1}{-4}$. Wir setzen ein und wenden die erste binomische Formel an:

$\begin{align*}f(x)&=(x-(\color{#f00}{-5}))^2\color{#1a1}{-4}\\ &=(x+5)^2-4\\ &=x^2+10x+25-4\\ f(x)&=x^2+10x+21\end{align*}$

Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist, geht man genauso vor.

Von der allgemeinen Form zur Scheitelform

Wenn wir umgekehrt die allgemeine Form haben und in die Scheitelpunktform umformen möchten, müssen wir eine binomische Formel herstellen.

Beispiel 3: Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung $f(x)=x^2-8x+7$. Geben Sie die Funktionsgleichung in Scheitelform an.

Lösung: Wir müssen die Gleichung als Summe einer binomischen Formel und einer Zahl schreiben. Der Term $-8x$ zeigt mit seinem Vorzeichen an, dass die zweite binomische Formel beteiligt sein wird.

Zur Verdeutlichung schreiben wir die ausgeschriebene binomische Formel in der Grundform unter den Funktionsterm:

$\begin{align*}f(x)&=\color{#f00}{x}^2-\color{#18f}{8}\color{#f00}{x}\phantom{{}+b^2}+7\\ &\phantom{={}}\color{#f00}{a}^2-\color{#18f}{2}\color{#f00}{a}\color{#18f}{b}+b^2\end{align*}$

Der Vergleich zeigt: $x=a\Rightarrow 8=2b\Rightarrow b=\frac 82=4$.
Dann ist aber $b^2=4^2=16\not= 7$, passt also nicht zur Ausgangsgleichung. Man behilft sich mit der künstlichen Addition einer Null (die ja nichts verändert): man addiert das Glied, das man für die binomische Formel benötigt, und subtrahiert es gleich wieder. Diese Technik nennt sich quadratische Ergänzung.
Anschließend gliedert man die Summanden anders, um sie wie gewünscht zusammenfassen zu können: die ersten drei Glieder werden zur binomischen Formel, die hinteren beiden werden schlicht verrechnet.

$\begin{align*}f(x)&=x^2-\style{background-color:#bdf}{8}x \phantom{{}+\left(\tfrac 82\right)^2-\left(\tfrac 82\right)^2}+7\\ &=x^2-\style{background-color:#bdf}{8}x\color{#f00}{+\left(\tfrac{\style{background-color:#bdf}{8}}{2}\right)^2-\left(\tfrac{\style{background-color:#bdf}{8}}{2}\right)^2}+7\\ &=x^2-8x+\left(\tfrac 82\right)^2\color{#1a1}{-\left(\tfrac 82\right)^2+7}\\ &=\left(x-\tfrac 82\right)^2\color{#1a1}{-16+7}\\f(x)&=(x-4)^2-9\end{align*}$

Damit ist das gewünschte Ziel erreicht, und an dieser Form lässt sich der Scheitelpunkt ablesen: er hat die Koordinaten $S(4|-9)$.

Natürlich kann man die Zahl $\frac 82$ schon früher zu 4 vereinfachen. Ich habe sie an dieser Stelle zunächst als Bruch stehengelassen, um ihre Herkunft zu verdeutlichen. Gleichzeitig sollte deutlich werden, dass die quadratische Ergänzung immer auf die gleiche Weise funktioniert: man halbiert den Koeffizienten bei $x$, quadriert ihn, und addiert und subtrahiert das Ergebnis dann wieder. Das gilt sowohl für die erste als auch für die zweite binomische Formel, denn in beiden heißt es am Schluss $+b^2$.

Beispiel 4: Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung $f(x)=x^2+x-2$. Bestimmen Sie ihren Scheitelpunkt.

Lösung: Wir benötigen die Scheitelform. Diesmal ist wegen $+x=+1x$ die erste binomische Formel gefragt.

$\begin{align*}f(x)&=x^2+x-2\\&=x^2+x+\left(\tfrac 12\right)^2-\left(\tfrac 12\right)^2 -2\\&=\left(x+\tfrac 12\right)^2-\tfrac 14-2\\ f(x)&=\left(x+\tfrac 12\right)^2-\tfrac 94\end{align*}$

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S\left(-\tfrac 12\big|-\tfrac 94\right)$.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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