Abstand Punkt – Ebene: Formel

Für den Abstand eines Punktes zu einer Ebene kann man verschiedene Verfahren nutzen. Das hier beschriebene Verfahren arbeitet mit der Formel, die oft über die Hesse'sche Normalenform (HNF) einer Ebene hergeleitet wird. Da die HNF in manchen Lehrplänen nicht mehr enthalten ist, werde ich die Formel an dieser Stelle etwas elementarer unter Zuhilfenahme des Skalarprodukts begründen.

Anschließend folgen einige typische Beispiele.

Formel für den Abstand Punkt – Ebene

Der Abstand eines Punktes $P$ zu einer Ebene $E:\left( \vec x-\vec a\right)\cdot \vec n=0$ beträgt $d=\dfrac{\left|\left( \vec p-\vec a\right)\cdot \vec n\right|}{\left|\vec n\right|}$.

Sie finden diese Formel auch in der Form $d=\left|\left( \vec p-\vec a\right)\cdot \vec n_0\right|$. In diesem Fall zieht man den Nenner $|\vec n|$ in den Zähler zum Normalenvektor und nutzt die Schreibweise $\vec n_0=\dfrac{\vec n}{|\vec n|}$ für den Einheitsvektor. Diese Form scheint kompakter, ist bei der konkreten Berechnung jedoch unbequemer.

Weniger verbreitet ist die Koordinatenform der Abstandsformel: Für die Ebene $E:n_1 x+n_2 y+n_3 z=k$ und den Punkt $P(p_1|p_2|p_3)$ ergibt sich der Abstand zu $d=\dfrac{\left|n_1p_1+n_2p_2+n_3p_3-k\right|}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}$.

Herleitung der Formel

$P$ sei ein Punkt außerhalb der Ebene $E:\left( \vec x-\vec a\right)\cdot \vec n=0$, $F$ der Fußpunkt des Lotes von $P$ auf $E$. $P$ soll zunächst auf der Seite der Ebene liegen, in die $\vec n$ zeigt (linkes Bild). Da $\overrightarrow{FP}$ und $\vec n$ Vielfache sind (parallel liegen), haben die eingezeichneten Winkel als Wechselwinkel das gleiche Maß.

Aus der Mittelstufe ist bekannt: $\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\dfrac{d}{|\overrightarrow{AP}|}$

Andererseits können wir den Winkel mithilfe des Skalarprodukts ausdrücken: $\cos(\alpha)=\dfrac{\overrightarrow{AP}\cdot \vec n }{|\overrightarrow{AP}|\cdot |\vec n|}$

Gleichsetzen liefert:

\[\begin{align*} \dfrac{d}{|\overrightarrow{AP}|}&=\dfrac{\overrightarrow{AP}\cdot \vec n }{|\overrightarrow{AP}|\cdot |\vec n|} & &|\cdot|\overrightarrow{AP}|\\ d&=\dfrac{\overrightarrow{AP}\cdot \vec n }{|\vec n|} & & |\text{ ersetze }\overrightarrow{AP}=\vec p-\vec a\\ d&=\dfrac{\left(\vec p-\vec a\right)\cdot \vec n }{|\vec n|} \end{align*}\]

Liegt der Punkt $P$ dagegen auf der anderen Seite, verwenden wir einen entgegengesetzt orientierten Normalenvektor $-\vec n$ (rechtes Bild). Wegen $|-\vec n|=|\vec n|$ ergibt sich $\cos(\alpha)=\dfrac{\overrightarrow{AP}\cdot (-\vec n) }{|\overrightarrow{AP}|\cdot |-\vec n|}=-\dfrac{\overrightarrow{AP}\cdot \vec n }{|\overrightarrow{AP}|\cdot |\vec n|}$ und daraus $d=-\dfrac{\left(\vec p-\vec a\right)\cdot \vec n }{|\vec n|}$. Da sich die Ergebnisse nur durch das Vorzeichen unterscheiden, können wir mithilfe des Betrages einheitlich $d=\left|\dfrac{\left(\vec p-\vec a\right)\cdot \vec n }{|\vec n|}\right|=\dfrac{|\left(\vec p-\vec a\right)\cdot \vec n |}{|\vec n|}$ schreiben.

Beispiele

Im Folgenden gehe ich davon aus, dass die Ebene bereits in Normalenform oder Koordinatenform gegeben ist. Liegt die Ebene in Parameterform vor, so müssen Sie diese erst mit einem Ihnen bekannten Verfahren umwandeln.

Beispiel 1: Punkt gegeben, Abstand gesucht

Aufgabe: Gesucht ist der Abstand des Punktes $P(8|-5|2)$ von der Ebene $E:\left[\vec x-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}4\\8\\-19\end{pmatrix}=0$

Lösung: In diesem einfachsten Fall können wir unmittelbar einsetzen:

$\begin{align*}d&=\dfrac{\left|\left[\begin{pmatrix}8\\-5\\2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\right] \cdot \begin{pmatrix}4\\8\\-19\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{4^2+8^2+(-19)^2}}=\dfrac{\left|\begin{pmatrix}7\\-6\\3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\8\\-19\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{441}}\\ &=\dfrac{|28-48-57|}{21}=\dfrac{|-77|}{21}=\dfrac{11}{3}\text{ LE}\end{align*}$

Beispiel 2: Abstand gegeben, Punkt gesucht

Aufgabe: Welche Punkte der Geraden $g:\vec x= \begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ haben von der Ebene $E:x+2y+3z=9$ den Abstand $d=\tfrac 12 \sqrt{14}\,$?

Lösung: Für die Abstandsformel in der vektoriellen Form benötigen wir einen Punkt der Ebene, den wir in diesem Fall einfach mit $A(9|0|0)$ „erraten“ können. Den Punkt der Geraden schreiben wir allgemein in der Form $P(r|2r|2)$. Da der Abstand gegeben ist, haben wir eine Gleichung zu lösen.

$\begin{align*} \dfrac{\left|\left[\begin{pmatrix}r\\2r\\2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}9\\0\\0\end{pmatrix}\right] \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}&=\tfrac 12 \sqrt{14}\\ \dfrac{\left|\begin{pmatrix}r-9\\2r\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{14}}&=\tfrac 12 \sqrt{14} & & |\cdot \sqrt{14}\\ \left|(r-9)\cdot 1+2r\cdot 2+2\cdot 3\right|&=7 \\ \left|r-9+4r+6\right|&=7 \\ \left|5r-3\right|&=7 \\ \end{align*}$

Wegen $7=|7|=|-7|$ müssen wir zwei Fälle untersuchen:

$\begin{align*} 5r-3&=7 &\text{ oder } & & 5r-3&=-7 & &|+3\\ 5r&=10 & & & 5r&=-4 & &|:5\\ r_1&=2 & & & r_2&=-\tfrac 45\\ \end{align*}$

Im üblichen dreidimensionalen Koordinatensystem fällt es schwer, sich die Situation vorzustellen. Daher zeigt die folgende Grafik den Sachverhalt schematisch unter Beibehaltung der Größenverhältnisse. Stützpunkt und Richtungsvektor der Geraden sind blau markiert.

Punkte einer Geraden mit gegebenem Abstand zu Ebene

Zum gleichen Typ gehören Aufgaben der Art „Welche Punkte der $x$-Achse haben von der Ebene $E:\ldots$ den Abstand $d=\ldots$?“. Ein Punkt der $x$-Achse hat die allgemeinen Koordinaten $P(u|0|0)$, und Sie können wie oben vorgehen.

Beispiel 3: Punkt und Abstand gegeben, Ebenen einer Schar gesucht

Aufgabe: Gegeben ist eine Ebenenschar durch die Gleichung $E_t:4x+t\,y-4z=8$. Welche Ebenen der Schar haben vom Punkt $P(1|6|5)$ den Abstand $d=2$?

Lösung: Wir setzen in die Koordinatenform der Abstandsformel ein. Wegen der Wurzel wird quadriert; damit wird der Betrag unnötig, da ein Quadrat nicht negativ ist.

$\begin{align*} \dfrac{|4\cdot 1+t\cdot 6-4\cdot 5-8|}{\sqrt{16+t^2+16}}&=2 & &|\cdot \sqrt{t^2+32}\\ |6t-24|&=2\sqrt{t^2+32} & &|(\ldots)^2\\ 36t^2-288t+576&=4t^2+128 & &|-4t^2-128\\ 32t^2-288t+448&=0 & &|:32\\ t^2-9t+14&=0 & &|pq\text{-Formel}\\ t_1&=7\\ t_2&=2 \end{align*}$

Die Ebenen $E_7:4x+7y-4z=8$ und $E_2:4x+2y-4z=8$ sind vom Punkt $P$ zwei Längeneinheiten entfernt.

Übungsaufgaben

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Abstandsberechnungen im R³

Beispiele, Erklärungen

Punkt – Punkt
Punkt – Gerade: Lotfußpunktverfahren mit Hilfsebene
Punkt – Gerade: Lotfußpunktverfahren mit laufendem Punkt
Punkt – Gerade: Formel
Punkt – Ebene: Lotfußpunktverfahren
Punkt – Ebene: Formel
Windschiefe Geraden: Formel
Windschiefe Geraden: Lotfußpunkte mit laufenden Punkten
Windschiefe Geraden: Lotfußpunkte mit Hilfsebene

Aufgaben

Punkt – Punkt (Lösungen)
Punkt – Gerade: Lotfußpunktverfahren (Lösungen)
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Windschiefe Geraden: Formel (Lösungen)
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