Lösungen zu den Aufgaben zum Abstand Punkt-Ebene (Formel)
Da ich einige Beispiele im Artikel Abstand Punkt-Ebene: Formel ausführlich vorgerechnet habe, finden Sie hier zu den Standardrechnungen nur einige wesentliche Zwischenschritte angegeben, aber nicht die vollständige Rechnung. Obwohl die Koordinatenform der Formel oft schneller ist, habe ich stets die vektorielle Form verwendet, da oft nur letztere im Unterricht besprochen wird.
$d=\dfrac{\left|\left[\begin{pmatrix}12\\4\\-2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-3\\-2\\1\end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+4^2}}=\ldots =0\text{ LE}$
Ein Abstand von Null bedeutet anschaulich, dass der Punkt in der Ebene liegt.
$A(-2|0|0)$ ist ein Punkt der Ebene.
$d=\dfrac{\left|\left[\begin{pmatrix}-4\\4\\2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}8\\0\\15\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{8^2+0^2+15^2}}=\ldots =\dfrac{14}{17}\text{ LE}$
Ein Blick auf die zweite Zeile der Ebene zeigt ohne Rechnung, dass $E:y=\color{#f00}{-1}$ eine Koordinatengleichung der Ebene ist. Diese Ebene ist parallel zur $xz$-Koordinatenebene, und der Abstand zum Punkt $P(4|\color{#1a1}{7}|-11)$ ergibt sich als Differenz der $y$-Koordinaten: $d=\left|\color{#1a1}{7}-(\color{#f00}{-1})\right|=8\text{ LE}$
Falls Sie diese anschauliche Deutung übersehen, können Sie natürlich auch mit der Formel rechnen.
$V=\tfrac 13 \cdot G\cdot h=\tfrac 13 \cdot A_{ABCD}\cdot h$
Die Höhe ist der Abstand der Spitze zur Grundebene. Für den Punkt der Ebene können Sie einen der Eckpunkte des Drachenvierecks wählen oder einen beliebigen aus der Koordinatengleichung „raten“. Hier wird $A$ verwendet.
$h=d(S,E)=\dfrac{\left|\left[\begin{pmatrix}8\\-3\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\-1\\-1\end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}=\ldots =7\text{ LE}$
$V=\tfrac 13 \cdot 27\cdot 7=63\text{ VE}$
Einsetzen der Koordinaten von $g$ in $E$:
$\begin{align*}
6(1+r)+7\cdot (-3)-6(2+r)&=6\\
6+6r-21-12-6r&=6\\
-27&=6\quad (\text{falsch})\,\Rightarrow\,g\| E\\
\end{align*}$
Jeder Punkt der Geraden hat von der Ebene denselben Abstand. Daher können wir den Stützpunkt verwenden; aus der Ebene wählen wir $A(1|0|0)$.
$d=\dfrac{\left|\left[\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}6\\7\\-6\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{6^2+7^2+(-6)^2}}=\ldots =3\text{ LE}$
$\vec n_E=\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix};\quad \vec n_F=\begin{pmatrix}-4\\4\\-6\end{pmatrix}=-2\cdot \begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}=-2\cdot\vec n_E\Rightarrow E\| F$
Aus der Ebene $F$ wählen wir $P(0|0|0)$.
$d=\dfrac{\left|\left[\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+3^2}}=\ldots =\dfrac{7}{\sqrt{17}}\approx 1{,}70\text{ LE}$