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Mathematik in der Oberstufe

Ableitungsregeln: Quotientenregel

Die Beispiele umfassen nur rationale und trigonometrische Funktionen, da die Quotientenregel meist vor der Einführung weiterer Funktionsklassen behandelt wird.

Da die Quotientenregel sehr häufig gemeinsam mit der Kettenregel auftaucht, habe ich auch ein Beispiel für diese Kombination aufgenommen.

Wann braucht man die Quotientenregel?

Die Verwendung dieser Ableitungsregel liegt nahe, wenn der Funktionsterm ein Bruch ist. Allerdings gibt es Beispiele gebrochener Funktionen, bei denen man durch geeignetes Umformen ohne Quotientenregel schneller ans Ziel gelangt.

Quotientenregel

$f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\quad$ $\Rightarrow \quad$ $f'(x)=\dfrac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$
oder kurz $\left( \dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$

Beispiele

  1. $f(x)=\dfrac{x^2}{2x+4}$
    Zu Beginn notieren wir Zähler und Nenner sowie deren Ableitungen.
    $\begin{align} u(x)&=x^2 & u'(x)&=2x\\v(x)&=2x+4 & v'(x)&= 2\end{align}$
    Diese Terme werden in die Quotientenregel eingesetzt:
    $f'(x)=\dfrac{2x\cdot (2x+4)-x^2\cdot 2}{(2x+4)^2} $
    Der Term $2x + 4$ darf natürlich nicht gekürzt werden, da er im Zähler in einer Summe bzw. Differenz steht.
    Anschließend multipliziert man im Zähler die Klammer aus und fasst zusammen. Der Nenner wird grundsätzlich nicht umgeformt:
    $f'(x)=\dfrac{4x^2+8x-2x^2}{(2x+4)^2}=\dfrac{2x^2+8x}{(2x+4)^2} $
  2. $f(x)=\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$
    Bei diesen doch recht einfachen Ausdrücken kann man direkt in die Quotientenregel einsetzen:
    $f'(x)=\dfrac{\cos(x)\cdot \cos(x)-\sin(x)\cdot (-\sin(x))}{(\cos(x))^2}=\dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$
    Dabei wurde im Zähler die Kurzschreibweise $\sin^2(x) = (\sin(x))^2$ bzw. $\cos^2(x) = (\cos(x))^2$ verwendet.
    Nun gibt es zwei Möglichkeiten zur Vereinfachung; beide Ergebnisse finden Sie übrigens in den gängigen Formelsammlungen.
    Zum einen kann man im Zähler den sogenannten trigonometrischen Pythagoras $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ einsetzen und erhält
    $f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}$.
    Zum anderen kann man den Bruch in eine Summe von zwei Brüchen aufteilen. Im einen Bruch wird gekürzt, im anderen $\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ durch $\tan(x)$ ersetzt, so dass man ein bruchfreies Ergebnis erhält:
    $f'(x)=\dfrac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+\dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=1+\left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2=1+\tan^2(x)$.
  3. $f(x)=\dfrac{4x^2}{(x^2+1)^3}$
    Da im Nenner eine Klammer steht und somit zusätzlich die Kettenregel notwendig ist, werden hier zunächst die einzelnen Ableitungen notiert:
    $\begin{align}u(x)&=4x^2 & u'(x)&=8x\\ v(x)&=(x^2+1)^3 & v'(x)&= 3\cdot (x^2+1)^2\cdot 2x\end{align}$
    Der Nenner wird zu $\left( (x^2+1)^3\right)^2=(x^2+1)^{3\cdot 2}=(x^2+1)^6$.
    Die Ableitung $v'(x)$ des Nenners sollte dabei keinesfalls ausmultipliziert werden! Den Grund sehen wir nach dem Einsetzen in die Quotientenregel:
    $f'(x)=\dfrac{8x\cdot (x^2+1)^3-4x^2\cdot 3\cdot (x^2+1)^2\cdot 2x}{(x^2+1)^6}$
    Sowohl im ersten Teil $u′\cdot v$ als auch im zweiten Teil $u\cdot v′$ kommt nun der Faktor $ (x^2+1)$ vor, im ersten Teil mit der Hochzahl 3, im zweiten Teil mit der Hochzahl 2. Man kann den Faktor also mit der kleineren Hochzahl 2 ausklammern – das hätte man nicht gesehen, wenn man $v'(x)$ ausmultipliziert hätte.
    $ f'(x)=\dfrac{(x^2+1)^2\cdot \left[8x\cdot (x^2+1)-4x^2\cdot 3\cdot 2x\right]}{(x^2+1)^6}$
    Jetzt wird gekürzt, so dass im Nenner nur noch der Exponent $6-2=4$ auftaucht. Gleichzeitig wird im Zähler innerhalb der eckigen Klammer ausmultipliziert und anschließend zusammengefasst:
    $ f'(x)=\dfrac{8x^3+8x-24x^3}{(x^2+1)^4}=\dfrac{-16x^3+8x}{(x^2+1)^4}$

Der letzte Fall – die zusätzliche Anwendung der Kettenregel – ist bei der Quotientenregel sehr häufig. Wenn Sie eine gebrochen rationale Funktion diskutieren sollen, benötigen Sie mindestens zwei Ableitungen. Im ersten Beispiel haben Sie gesehen, dass der Nenner nach der ersten Ableitung ein Quadrat erhält. Spätestens für die zweite Ableitung braucht man daher immer die Kettenregel. Ausmultiplizieren des quadratischen Nenners ist kein Ausweg, da man dann nicht mehr ohne weiteres kürzen kann.

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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