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Mathematik in der Oberstufe

Potenzregel, Faktorregel, Summenregel (kombiniert)

Auf dieser Seite geht es darum, die folgenden Ableitungsregeln auf Terme anzuwenden, wobei auch die zweite und höhere Ableitungen vorkommen. Die Funktionsterme können Klammern, Parameter und Brüche enthalten. Der Schwerpunkt liegt auf der Ableitung ganzrationaler Funktionen. Die einzelnen Regeln mit eventuell notwendigen Umformungen sollten Sie bereits beherrschen.

Ableitungsregeln

Potenzregel: $f(x)=x^n \; \Rightarrow\; f'(x)=n\cdot x^{n-1}$

Faktorregel: $f(x)=a\cdot g(x) \; \Rightarrow\; f'(x)=a\cdot g'(x)$

Summenregel: $f(x)=g(x)+h(x) \; \Rightarrow\; f'(x)=g'(x)+h'(x)$

Konstantenregel: $f(x)=c = \text{ konstant } \; \Rightarrow\; f'(x)=0$

Die Konstantenregel wird nur selten ausdrücklich erwähnt.

Einfache Ableitungen

  1. $f(x)=\frac 12x^4-3x^2+8$
    Bereits für diese einfache ganzrationale Funktion benötigt man alle oben angeführten Regeln, aber man sollte diese so gut beherrschen, dass man nicht darüber nachdenken muss. Ausführlich könnte man schreiben:
    $f'(x)=\frac 12\cdot 4 x^{4-1}-3\cdot 2 x^{2-1}+0$
    Tatsächlich führt man die einzelnen Rechenschritte jedoch im Kopf durch: man multipliziert den jeweiligen Koeffizienten (Faktor) mit der alten Hochzahl und verringert den Exponenten um Eins. Ein konstanter Summand fällt weg. Ohne Zwischenschritt wird die Ableitungsfunktion notiert:
    $f'(x)=2x^3-6x$
  2. $f(x)=x+\dfrac 3x$
    Da die Variable im Nenner steht, muss der Term zunächst umgeformt werden:
    $f(x)=x+3x^{-1}$
    Nun wird abgeleitet:
    $f'(x)=1-3x^{-2}$
    Je nach Aufgabenstellung kann es sinnvoll sein, das Ergebnis wieder als Bruch zu schreiben:
    $f'(x)=1-\dfrac{3}{x^2}$
  3. $f(x)=x^2\cdot \sqrt x$
    Sofern nicht ausdrücklich von Ihnen verlangt wird, diese Funktion mit der Produktregel abzuleiten, sollten Sie den Term mithilfe von Potenzgesetzen umformen:
    $f(x)=x^2\cdot x^{\frac 12}=x^{2+\frac 12}=x^{\frac 52}$
    Nun kann man wie gewohnt ableiten:
    $f'(x)=\frac 52x^{\frac 32}$
    Natürlich kann man das Ergebnis wieder mit einer Wurzel angeben:
    $f'(x)=\frac 52\cdot x^{1+\frac 12}=\frac 52x \sqrt x$
    Auch $f'(x)=\frac 52 \sqrt{x^3}$ ist richtig.

Zweite und höhere Ableitungen

Unter der zweiten Ableitung $f''$ versteht man die Ableitungsfunktion der ersten Ableitung, unter der dritten Ableitung $f'''$ entsprechend die Ableitung der zweiten Ableitung. Ab der vierten Ableitung schreibt man $f^{(4)}, f^{(5)}$ usw., immer mit runden Klammern (ohne Klammer ist etwas anderes gemeint). In der Schule werden meistens nur die drei ersten Ableitungen verwendet.

Beispiel: $f(x)=\frac 16x^4-\frac 12x^3+\frac 12x^2-x+4$

Wir bilden zunächst die ersten drei Ableitungen, wobei die Brüche nach Möglichkeit gekürzt werden (also bei der ersten Ableitung beispielsweise $\frac 46=\frac 23$):
$f'(x)=\frac 23x^3-\frac 32x^2+x-1$
$f''(x)=2x^2-3x+1$
$f'''(x)=4x-3$

Es können beliebig viele weitere Ableitungen gebildet werden:
$f^{(4)}(x)=4$
$f^{(5)}(x)=0$
$f^{(6)}(x)=0$
Jede weitere Ableitung ist Null.

Funktionsterme mit Parametern

Parameter treten üblicherweise bei Steckbriefaufgaben und bei Funktionenscharen auf. Falls Sie noch nicht wissen, was diese Begriffe bedeuten, können Sie den Hinweis getrost ignorieren; er ist für die Bestimmung der Ableitung nicht notwendig.

  1. $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
    In diesem Fall ist $d$ ein konstanter Summand und fällt somit beim Ableiten weg. Die anderen Parameter sind konstante Faktoren und bleiben erhalten. Als Ableitung ergibt sich
    $f'(x)=3ax^2+2bx+c$
    Bei der zweiten Ableitung fällt der konstante Summand $c$ weg:
    $f''(x)=6ax+2b$
    Mit $b$ ist auch $2b$ ein konstanter Summand:
    $f'''(x)=6a$
  2. $f(x)=x^3-6tx^2+9t^2x$
    Mit $t$ ist auch $6t$ bzw. $9t^2$ eine Konstante. Also gilt:
    $f'(x)=3x^2-12tx+9t^2$
    Bei der zweiten Ableitung kommt es leicht zu Fehlern, wenn man sich nicht klar macht, dass $9t^2$ weiterhin eine Konstante ist, hier als Summand, und somit beim Ableiten wegfällt (und nicht etwa $18t$ ergibt!):
    $f''(x)=6x-12t$
    $f'''(x)=6$
  3. $f(t)=x^3-6tx^2+9t^2x$
    Ist das nicht die gleiche Funktion wie oben? Nein, es heißt $f(t)$ und nicht $f(x)$. Die Variable ist jetzt $t$, und somit gilt $x$ als Parameter, also Konstante.
    Gerade bei dieser Funktion bereitet die Macht der Gewohnheit Schwierigkeiten: man ist so sehr daran gewöhnt, $x$ als Variable zu betrachten, dass es fast schon zwangsläufig zu Fehlern kommt. Ein wenig kann man sich helfen, indem man zumindest die Reihenfolge einhält: erst Parameter, dann Variable. Wenn man wie üblich nach fallenden Exponenten sortiert, sieht die Funktion so aus:
    $f(t)=9xt^2-6x^2t+x^3$
    Damit ist die Fehlergefahr geringer. Die ersten drei Ableitungen lauten
    $f'(t)=18xt-6x^2$
    $f''(t)=18x$
    $f'''(t)=0$
    Glücklicherweise wird man mit diesem Problem eher selten konfrontiert. Bei den meisten Aufgaben wird $x$ nicht als Parameter auftreten, sondern als Variable. Wenn Sie allerdings in Klausuren einige Funktionen nur einmal ableiten sollen, sollten Sie sehr genau darauf achten, wie die Variable heißt – gerade bei diesem Aufgabentyp testen Lehrer gern die Aufmerksamkeit der Schüler.

Funktionsterme mit Klammern und Brüchen

Falls Sie diesen Abschnitt zur Wiederholung lesen und bereits Ketten-, Produkt- oder Quotientenregel kennen: Es ist möglich, mit diesen Regeln arbeiten. Notwendig ist es jedoch nicht, und oft ist es sogar einfacher, erst umzuformen, damit man ohne diese Regeln auskommt.

  1. $f(x)=(2x-3)^2$
    Hier wird zunächst die Klammer mithilfe der binomischen Formel aufgelöst:
    $f(x)=4x^2-12x+9$
    Nun kann ganz einfach abgeleitet werden:
    $f'(x)=8x-12$
  2. $f(x)=\frac{\pi}{3}\cdot \left(100-x^2\right)\cdot x$
    Der Faktor $\frac{\pi}{3}$ ist konstant und muss daher nicht in die Klammer multipliziert werden; er bleibt beim Ableiten erhalten. Der hintere Teil wird ausmultipliziert:
    $f(x)=\frac{\pi}{3}\cdot \left(100x-x^3\right)$
    $f'(x)=\frac{\pi}{3}\cdot \left(100-3x^2\right)$
  3. $f(x)=\dfrac{x^4-7x+12}{8}$
    Da dieser Term auch als $f(x)=\frac 18(x^4-7x+12)$ geschrieben werden kann, lässt er sich mit der Faktorregel ableiten:
    $f'(x)=\frac 18(4x^3-7)=\dfrac{4x^3-7}{8}$
    Sofern die Variable nicht im Nenner vorkommt, leitet man also nur den Zähler ab und lässt den Nenner stehen.
  4. $f(x)=\dfrac{x^3+4x-5}{2x}$
    Da die Variable im Nenner vorkommt, kann man nicht mehr wie im vorigen Beispiel ableiten. Einen Bruch dieser Art teilt man in drei Brüche auf, kürzt und formt dann jeden Teilbruch so um, dass er nach den Grundregeln abgeleitet werden kann.
    $f(x)=\dfrac{x^3}{2x}+\dfrac{4x}{2x}-\dfrac{5}{2x}=\dfrac{x^2}{2}+2-\dfrac{5}{2x}=\frac 12x^2+2-\frac 52x^{-1}$
    Nun ist die Ableitung einfach:
    $f'(x)=x+\frac 52x^{-2}$

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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