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Mathematik in der Oberstufe

Lösungen zu den Aufgaben zur Kettenregel

Lineare Verkettung

    1. $f'(x)=3 (x+2)^2$
    2. $f'(x)=6 (3x-7)$
    3. $f'(x)=10 \left( \frac 14 x+2\right)^4$
    4. $f'(x)=-8(4-x)^3$
    1. $f'(x)=-\left(1+\frac 12 x\right)^{-3}$
    2. $f(x)=5 (3-x)^{-1}$; $f'(x)=5(3-x)^{-2}=\dfrac{5}{(3-x)^2}$
    3. $f(x)=\frac 34 (2x+1)^{-2}$; $f'(x)=-3(2x+1)^{-3}=-\dfrac{3}{(2x+1)^3}$
    1. $f'(x)=2(4x+2)^{-\frac 12}=\dfrac{2}{\sqrt{4x+2}}$
    2. $f'(x)=-2(5-8x)^{-\frac 34}=\dfrac{-2}{\sqrt[4]{(5-8x)^3}}$ oder $f'(x)=-\dfrac{2}{\left(\sqrt[4]{5-8x}\right)^3}$
    3. $f'(x)=-4(2x-3)^{-\frac 32}=\dfrac{-4}{\sqrt{(2x-3)^3}}$ oder $f'(x)=\dfrac{-4}{\left(\sqrt{2x-3}\right)^3}$
    1. $f'(x)=2\cos(2x-π)$
    2. $f'(x)=-π\cdot \sin\left(\frac{π}{2}x+1\right)$
    1. $f'(x)=2(3x+4)^2$
      $f''(x)=12(3x+4)$
      $f'''(x)=36$
    2. $f'(x)=\frac 34 (1-2x)^{-4}$
      $f''(x)=6(1-2x)^{-5}$
      $f'''(x)=60(1-2x)^{-6}$
    3. $f'(x)=-2\sin(2x+3)$
      $f''(x)=-4\cos(2x+3)$
      $f'''(x)=8\sin(2x+3)$
    1. $f'(x)=8(2x+1)^3+9(3x-2)^{-4}$
    2. $f'(x)=2\cos(2x)-3\sin(3x)$
    3. $\begin{align*}f'(x)&\;=2x-2(3-x)-12\sin(2+3x)\\ &\;=4x-6-12\sin(2+3x)\end{align*}$

Allgemeine Kettenregel

    1. $\begin{align*}f'(x)&\,=4\left(x^3-6x\right)^3\cdot \left(3x^2-6\right)\\ &\,=\left(12x^2-24\right)\left(x^3-6x\right)^3\end{align*}$
    2. $\begin{align*}f'(x) &\,=2\left(x^2-2\sqrt{x}\right)\cdot\left(2x-x^{-\frac 12}\right)\\ &\,=\left(4x-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\left(x^2-2\sqrt{x}\right)\end{align*}$
    3. $\begin{align*}f'(x) &\,=3\left(2x+\dfrac 1x \right)^2\cdot \left(2-x^{-2}\right)\\ &\,=\left(6-\dfrac{3}{x^2}\right) \left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2\end{align*}$
    4. $\begin{align*}f'(x)&\,=\frac 12 \left(x^2+1\right)^{-\frac 12}\cdot 2x\\ &\,=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\end{align*}$
    5. doppelte Verkettung:
      $\begin{align*}f'(x)&\,=3\left(4\style{background-color:#6e6}{-}\sqrt{8x+2}\right)^2\cdot \left(\style{background-color:#6e6}{-}\tfrac 12\right) (8x+2)^{-\frac 12}\cdot 8\\ &\,=\dfrac{-12\left(4-\sqrt{8x+2}\right)^2}{\sqrt{8x+2}}\end{align*}$
    1. $\begin{align*}f'(x)&\,=2\left(\cos(x)-\sin(x)\right) \left( -\sin(x)-\cos(x)\right)\\ &\,=-2\cos^2(x)+2\sin^2(x)\end{align*}$
    2. $f'(x)=\frac 12 \left(\sin(x)\right)^{-\frac 12}\cdot \cos(x)=\dfrac{\cos(x)}{2 \sqrt{\sin(x)}}$
    3. doppelte Verkettung:
      $\begin{align*}f'(x)&\,=4 \cos^3(π-x)\cdot \left(-\sin(π-x)\right)\cdot (-1)\\ &\;=4\sin(π-x)\cos^3(π-x)\end{align*}$

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Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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