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Mathematik in der Oberstufe

Ableitungsregeln: Kettenregel

Die Beispiele umfassen nur rationale und trigonometrische Funktionen, da die Kettenregel meist vor der Einführung weiterer Funktionsklassen behandelt wird.

Nicht lineare Verkettungen sind in Hessen zwar nur noch im Leistungskurs Pflicht, werden aber weiterhin auch in Grundkursen noch oft behandelt. Meiner Erfahrung nach verstehen und erkennen Schüler die Regel besser, wenn sie die allgemeine Kettenregel lernen, so dass das Hinausgehen über den Pflichtstoff hier empfehlenswert ist.

Wann braucht man die Kettenregel?

Die Kettenregel wird immer dann benötigt, wenn man es nicht mehr nur mit den „Grundfunktionen“ $f(x)=a\cdot x^{n}$, $f(x)=\sin(x)$, $f(x)=\cos(x)$ oder später $f(x)=e^{x}$ zu tun hat, sondern wenn statt des einzelnen $x$ ein erweiterter Ausdruck steht. Schon ein einfaches Minus stellt in diesem Sinne eine Erweiterung dar, beispielsweise bei $f(x)=\sin(-x)$.

Kettenregel bei linearer Verkettung

$f(x)=g(mx+b)\;$ $\Rightarrow\;$ $f'(x)=m\cdot g'(mx+b)$

Beispiele

  1. $f(x)=(\color{#f00}{2}x-4)^\color{#1a1}{5}$
    Hier ist $m=2$; die fünfte Potenz wird nach der Potenzregel abgeleitet:
    $f'(x)=\color{#f00}{2}\cdot \color{#1a1}{5}(2x-4)^{\color{#1a1}{5}-1}=10(2x-4)^{4}$
  2. $f(x)=8(5\color{#f00}{-}x)^{-2}$
    Gleiches Prinzip mit $m=-1$:
    $f'(x)=\color{#f00}{-1}\cdot 8\cdot (-2)(5-x)^{-2-1}=16(5-x)^{-3}$
  3. $f(x)=\cos(\color{#f00}{0{,}5}x-1)$
    Die Ableitung von $\cos(x)$ ist $-\sin(x)$. Im zweiten Schritt wird das Minuszeichen nach vorn gezogen (plus mal minus ergibt minus):
    $f'(x)=\color{#f00}{0{,}5}\cdot \bigl(-\sin(0{,}5x-1)\bigr)=-0{,}5\sin(0{,}5x-1)$
  4. $f(x)=\sqrt[3]{6x+4}$
    Wurzeln werden als gebrochene Exponenten umgeformt und dann nach der Potenzregel abgeleitet:
    $f(x)=\sqrt[3]{6x+4}=(\color{#f00}{6}x+4)^{\frac 13}$
    $f'(x)=\color{#f00}{6}\cdot \frac 13\cdot (6x+4)^{\frac 13-1}=2(6x+4)^{-\frac 23}$
    Manchmal ist es sinnvoll, das Ergebnis wieder als Wurzel (wegen des negativen Exponenten hier im Nenner) zu schreiben:
    $f'(x)=\dfrac{2}{(6x+4)^{\frac 23}}=\dfrac{2}{\sqrt[3]{(6x+4)^2}}$
  5. Klammern im Nenner werden mit negativem Exponenten umgeschrieben. Eine weitere Zahl als Faktor bleibt im Nenner:
    $f(x)=\dfrac{5}{6(2x-5)^3}=\tfrac 56 (\color{#f00}{2}x-5)^{-3}$
    $\begin{align*} f'(x)&=\color{#f00}{2}\cdot \tfrac 56 \cdot (-3) (2x-5)^{-4}\\ &=-5(2x-5)^{-4}\\ &=-\dfrac{5}{(2x-5)^4}\end{align*}$

Allgemeine Kettenregel (auch bei nicht linearer Verkettung)

$f(x)=u(v(x))\;$ $\Rightarrow\;$ $f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$

In Worten: äußere Ableitung mal innere Ableitung.

Dabei heißt $v(x)$ die innere Funktion, $u(v)$ die äußere Funktion.

Beispiele

  1. $f(x)=(x^{2}-1)^{3}$
    Die innere Funktion ist „das, was zuerst gerechnet wird“, also hier $v(x)=x^{2}-1$. Die äußere Funktion ist „das, was zuletzt gerechnet wird“, also das Potenzieren mit 3: $u(v)=v^{3}$.
    Zunächst bildet man die einzelnen Ableitungen:
    $\begin{align*}v(x)&=x^2-1 &v'(x)&=2x\\ u(v)&=v^3& u'(v)&=3v^2\end{align*}$
    Das Symbol $u'(v(x))$ bedeutet nun, dass für $v$ wieder die ursprüngliche Festsetzung $v(x)=x^{2}-1$ eingesetzt werden soll:
    $u'(v(x))=3(x^{2}-1)^{2}$
    Die Ableitung der Ausgangsfunktion lautet damit
    $f'(x)=\underbrace{3(x^{2}-1)^{2}}_{u'(v(x))}\cdot \underbrace{2x}_{v'(x)}=6x(x^{2}-1)^{2}$
  2. $f(x)=\sin^{4}(x)$
    Die Schreibweise $\sin^{4}(x)$ ist eine Abkürzung für $(\sin(x))^{4}$. Ähnlich wie im ersten Beispiel erhält man:
    $\begin{align*}v(x)&=\sin(x) &v'(x) &=\cos(x)\\ u(v)&=v^4 & u'(v)&=4v^3\end{align*}$
    $f'(x)=4\bigl(\sin(x)\bigr)^{3}\cdot \cos(x)=4\sin^{3}(x)\cos(x)$
  3. $f(x)=\sin(x^{4})$
    Im Vergleich zum vorigen Beispiel sind die Rollen von innerer und äußerer Funktion vertauscht.
    $\begin{align*}v(x)&=x^4& v'(x)&=4x^3\\ u(v)&=\sin(v) &u'(v)&=\cos(v)\end{align*}$
    $f'(x)=\cos(x^{4})\cdot 4x^{3}=4x^{3}\cos(x^{4})$
    Das Vorziehen des Faktors $4x^{3}$ ist nicht unbedingt erforderlich, aber vorteilhaft, da die Gefahr einer falschen Zusammenfassung verringert wird (man darf nicht etwa $\cos(4x^{7})$ daraus machen!).
  4. $f(x)=\bigl(1+\cos(2x)\bigr)^{2}$
    Hier liegt eine mehrfache Verkettung vor: wir haben eine innere, eine mittlere und eine äußere Funktion.
    $\begin{align*} v(x)&=2x& v'(x)&=2\\ u(v)&=1+\cos(v) & u'(v)&=-\sin(v)\\ && u'(v(x))&=-\sin(2x)\\ w(u)&=u^2& w'(u)&=2u\\ && w'(u(v(x)))&=2\big(1+\cos(2x)\big)\end{align*}$
    Diese drei Ableitungen müssen nun multipliziert werden:
    $\begin{align*}f'(x)&\,=\underbrace{2\big(1+\cos(2x)\big)}_{w'}\cdot \underbrace{\big(-\sin(2x)\big)}_{u'}\cdot \underbrace{2}_{v'}\\ &\,=-4\big(1+\cos(2x)\big)\sin(2x)\end{align*}$
  5. Zum Abschluss schauen wir uns noch an, wie sich die lineare Kettenregel als Spezialfall der allgemeinen Kettenregel ergibt.
    $f(x)=g(mx+b)$
    $\begin{align*} v(x)&=mx+b & v'(x)&=m\\ u(v)&=g(v) & u'(v)& =g'(v)\\ && u'(v(x))&=g'(mx+b)\end{align*}$
    $f'(x)=g'(mx+b)\cdot m=m\cdot g'(mx+b)$

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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