Ermitteln der Parabelgleichung aus zwei Punkten und einem Parameter
Oft soll die Gleichung einer Parabel bestimmt werden, von der zwei Punkte bekannt sind sowie einer der Parameter $a$, $b$ oder $c$ der allgemeinen Form $f(x)=ax^2+bx+c$. Die dritte Information findet sich häufig versteckt als „verschobene Normalparabel“, manchmal auch nach unten geöffnet. Auf dieser Seite erfahren Sie, wie Sie diese und ähnliche Aufgaben lösen.
Anschauung
In der folgenden Grafik können Sie die roten Punkte verschieben. Den Streckfaktor (Öffnungsfaktor) $a$ können Sie mithilfe des Schiebereglers verändern. Falls Sie den Streckfaktor im Unterricht noch nicht besprochen haben: für $a=1$ erhalten Sie eine nach oben geöffnete, für $a=-1$ eine nach unten geöffnete Normalparabel.
Solange die Punkte nicht die gleiche Abszisse ($x$-Koordinate) haben, entsteht ein Funktionsgraph. Für $a\not= 0$ erhalten Sie eine Parabel, andernfalls eine Gerade.
Berechnen der Funktionsgleichung bei gegebenem Streckfaktor
Voraussetzung ist, dass Sie einfache lineare Gleichungssysteme mithilfe des Additions- und Subtraktionsverfahrens lösen können.
Am häufigsten ist der Fall der verschobenen Normalparabel, also $a=1$.
Beispiel 1: Gesucht ist die Gleichung einer verschobenen Normalparabel, die durch die Punkte $A(\color{#f00}{-1}|\color{#1a1}{6})$ und $B(\color{#a61}{3}|\color{#18f}{-1})$ geht.
Lösung: Eine verschobene Normalparabel hat wegen $a=1$ eine Gleichung vom Typ $f(x)=x^2+bx+c$. Die Koordinaten der Punkte müssen „die Gleichung erfüllen“, also bei Einsetzen eine wahre Aussage ergeben. Das führt zu folgenden Bedingungen:
$\begin{alignat*}{6}&f(\color{#f00}{-1})=\color{#1a1}{6}\quad &&\quad &(\color{#f00}{-1})^2&\,+\,&b\cdot (\color{#f00}{-1})&\,+\,&c&\,=\,&\color{#1a1}{6}\\&\quad && \text{I }\quad & 1&\,-\,&b&\,+\,&c&\,=\,&6\\ &f(\color{#a61}{3})=\color{#18f}{-1}\quad &&\quad &\color{#a61}{3}^2&\,+\,&b\cdot \color{#a61}{3}&\,+\,&c&\,=\,&\color{#18f}{-1}\\ &\quad && \text{II }\quad &9&\,+\,&3b&\,+\,&c&\,=\,&-1\end{alignat*}$
Mit etwas Übung notieren Sie sofort die endgültigen Gleichungen I und II ohne den Zwischenschritt des ausführlichen Einsetzens. Es entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, das man am einfachsten durch das Subtraktionsverfahren löst, da auf diese Weise $c$ entfällt. Ob Sie die Zahlen 1 bzw. 9 erst noch auf die andere Seite bringen, bleibt Ihnen überlassen. Notwendig ist es für das händische Verfahren nicht, aber übersichtlicher.
$\begin{alignat*}{6} &\text{I }\quad &1&\,-\,&b&\,+\,&c&\,=\,&6\qquad &|-1\\ &\text{II }\quad &9&\,+\,&3b&\,+\,&c&\,=\,&-1\qquad &|-9\\ \\ &\text{I}_a\quad &&\,\,&-b&\,+\,&c&\,=\,&5\qquad &\\ &\text{II}_a\quad &&\,\,&3b&\,+\,&c&\,=\,&-10\qquad &\\ \\ &\text{II}_a-\text{I}_a\quad &&\,\,&4b&\,\,&&\,=\,&-15\qquad &|:4\\ &\quad &&\,\,&b&\,\,&&\,=\,&-3{,}75\qquad &\\ \\ &b \text{ in I}_a\quad &-&\,(-&3{,}75)&\,+\,&c&\,=\,&5\qquad &\\ &\quad &&\,\,&3{,}75&\,+\,&c&\,=\,&5\qquad &|-3{,}75\\ &\quad &&\,\,&&\,\,&c&\,=\,& 1{,}25\qquad &\\ \end{alignat*}$
Die gesuchte Parabel hat somit die Gleichung $f(x)=x^2-3{,}75x+1{,}25$.
Beispiel 2: Eine Parabel ist mit dem Faktor $\color{#18f}{2}$ gestreckt und nach unten geöffnet. Sie geht durch die Punkte $A(-3|-9)$ und $B\left(2\big|\frac{23}{3}\right)$. Gesucht ist ihre Gleichung.
Lösung: Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist $a=\color{#f00}{-}\color{#18f}{2}$. Wir setzen in $f(x)=-2x^2+bx+c$ ein, notieren sofort die fertigen Gleichungen und subtrahieren sie, ohne vorher zu vereinfachen:
$\begin{alignat*}{6} &f(-3)=-9\quad &&\text{I }\quad &-18&\,-\,&3b&\,+\,&c&\,=\,&-9\qquad &\\ &f(2)=\tfrac{23}{3}\quad &&\text{II }\quad &-8&\,+\,&2b&\,+\,&c&\,=\,&\tfrac{23}{3}\qquad &\\ \\ &\quad &&\text{II}-\text{I}\quad &10&\,+\,&5b&\,\,&&\,=\,&\tfrac{50}{3}\qquad &|-10\\ &\quad &&\quad &&\,\,&5b&\,\,&&\,=\,&\tfrac{20}{3}\qquad &|:5\\ &\quad &&\quad &&\,\,&b&\,\,&&\,=\,&\tfrac{4}{3}\qquad &\\ \\ &\quad &&b \text{ in I }\quad &-18&\,-\,&3\cdot \tfrac 43&\,+\,&c&\,=\,&-9\qquad &|+18+3\cdot \tfrac 43\\ &\quad &&\quad &&\,\,&&\,\,&c&\,=\,&13\qquad &\\ \end{alignat*}$
Die Funktionsgleichung lautet $f(x)=-2x^2+\tfrac 43x+ 13$.
Der y-Achsenabschnitt ist gegeben
Der Parameter $c$ ist der $y$-Achsenabschnitt und kann entweder direkt (schneidet die $y$-Achse bei …) oder indirekt als weiterer Punkt $P(0|c)$ gegeben sein.
Beispiel 3: Eine Parabel schneidet die $y$-Achse bei $\color{#b1f}{4}$ und geht durch den Punkt $A(\color{#a61}{2}|\color{#18f}{6})$. Außerdem ist eine Nullstelle mit $x=\color{#f00}{-1}$ bekannt. Wie heißt ihre Gleichung?
Lösung: Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse liefert den Parameter $c=\color{#b1f}{4}$ und die Nullstelle einen zweiten Punkt $B(\color{#f00}{-1}|\color{#1a1}{0})$. Wir gehen daher von der Gleichung $f(x)=ax^2+bx+\color{#b1f}{4}$ aus und setzen die Koordinaten beider Punkte ein:
$\begin{alignat*}{6} &f(\color{#a61}{2})=\color{#18f}{6}\quad &&\text{I }\quad &4a&\,+\,&2b&\,+\,&4&\,=\,&6\\ &f(\color{#f00}{-1})=\color{#1a1}{0}\quad &&\text{II }\quad &a&\,-\,&b&\,+\,&4&\,=\,&0\\ \end{alignat*}$
Subtraktion der Gleichungen führt jetzt nicht zum Ziel, da $c$ bereits bekannt ist. Stattdessen eliminieren wir $b$ und multiplizieren zu diesem Zweck Gleichung II mit 2:
$\begin{alignat*}{6} &\text{I }\quad &4a&\,+\,&2b&\,+\,&4&\,=\,&6\qquad &\\ &\text{II}\cdot 2\quad &2a&\,-\,&2b&\,+\,&8&\,=\,&0\qquad &\\ \\ &\text{II}\cdot 2+\text{I}\quad &6a&\,\,&&\,+\,&12&\,=\,&6\qquad &|-12\\ &\quad &6a&\,\,&&\,\,&&\,=\,&-6\qquad &|:6\\ &\quad &a&\,\,&&\,\,&&\,=\,&-1\qquad &\\ \\ &a \text{ in II }\quad &-1&\,-\,&b&\,+\,&4&\,=\,&0\qquad &|+1-4\\ &\quad &&\,-\,&b&\,\,&&\,=\,&-3\qquad &|:(-1)\\ &\quad &&\,\,&b&\,\,&&\,=\,&3\qquad &\\ \end{alignat*}$
Die Gleichung lautet $f(x)=-x^2+3x+4$. Die Parabel hat wegen $a=-1$ die Form einer nach unten geöffneten Normalparabel.
Weitere Möglichkeiten
Wenn neben zwei Punkten der Parameter $b$ gegeben ist, gehen Sie ähnlich wie in Beispiel 2 vor.
Wenn beide Nullstellen gegeben sind (also die Schnittpunkte mit der $x$-Achse), können Sie wie hier vorgehen oder aber die Nullstellengleichung (Linearfaktorform) verwenden. Der Nullstellenansatz ist vor allem bei gegebenem $a$ oder $c$ schneller, wird jedoch längst nicht in allen Schulen behandelt.
Letzte Aktualisierung: 02.12.2015; © Ina de Brabandt
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Quadratische Funktionen 2: Aufstellen einer Gleichung
Beispiele, Erklärungen
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