Lineare Gleichungen (Wiederholung)

Dieser Text ist keine Einführung für die Mittelstufe, sondern soll das Wichtige für die Oberstufe zusammenfassen. Alle Gleichungen werden über den reellen Zahlen betrachtet.

Einfache lineare Gleichungen

Eine Gleichung heißt linear, wenn in ihr die Variable nur in erster Potenz $x^1=x$ vorkommt. Die Variable kann natürlich auch einen anderen Namen haben. Wegen $\tfrac 1x=x^{-1}$ darf sie nicht im Nenner, wegen $\sqrt x =x^{\frac 12}$ nicht in einer Wurzel stehen.

Das Grundprinzip bei linearen Gleichungen lautet stets: alle Terme mit der Variablen auf die eine Seite, alle Terme ohne die Variable auf die andere Seite.

Die Variable steht auf der linken oder auf beiden Seiten

Beispiel 1: $\;-4x=132$
Die $-4$ ist mit einem unsichtbaren Multiplikationszeichen an die Variable gebunden, und die Multiplikation (nicht das negative Vorzeichen!) ist entscheidend für die Bindung. Da man immer die Umkehroperation durchführen muss, um nach der Variablen aufzulösen, wird also durch $-4$ geteilt:
$\begin{align*}-4x&=132&&|:(-4)\\x&=-33\end{align*}$
In der Mittelstufe notiert man die Lösungsmenge meistens in der Form $\mathbb L=\{-33\}$. In der Oberstufe sind Lösungen einer Gleichung aber oft nur Zwischenergebnisse, die im jeweiligen Aufgabenzusammenhang noch weiter verarbeitet werden. Die Angabe der Lösungsmenge ist daher eher unüblich.

Beispiel 2: $\;3x+14=2$
Zuerst wird der Term mit der schwächeren Bindung beseitigt, also $+14$. Um diesen Term auf die andere Seite zu bringen, muss die Gegenoperation durchgeführt werden, also $14$ auf beiden Seiten subtrahiert werden. Anschließend geht es wie oben weiter:
$\begin{align*}3x+14&=2&&|-14\\ 3x&=-12&&|:3\\ x&=-4\end{align*}$

Beispiel 3: $\;2x=x+2$
Nach dem Grundprinzip subtrahieren wir $x$. Da Schüler bei dieser eigentlich harmlosen Gleichung erstaunlich oft irritiert sind, hier ganz ausführlich: es ist $2x-x=2x-1x=1x=x$. Damit bekommen wir sofort:
$\begin{align*}2x&=x+2&&|-x\\x&=2\end{align*}$

Beispiel 4: $\;2x-4=7x-19$
Üblicherweise bringt man die Unbekannte auf die linke Seite, subtrahiert also hier $7x$. Gleichzeitig wird die 4 nach rechts befördert:
$\begin{align*}2x-4&=7x-19&&|-7x+4\\-5x&=-15&&|:(-5)\\x&=3\end{align*}$

Die Variable steht nur auf der rechten Seite

Beispiel 5:
Beim Bestimmen linearer Funktionen stößt man oft auf eine Gleichung vom Typ $5=\frac 12\cdot (-4)+b$. Die Variable steht schon fast allein (ohne sichtbaren Faktor und positiv), allerdings auf der rechten Seite. Da das nicht verboten ist, lassen wir sie am einfachsten auch dort:
$\begin{align*}5&=\tfrac 12\cdot (-4)+b\\5&=-2+b&&|+2\\7&=b\end{align*}$

Es ist immer egal, auf welcher Seite die Variable steht. Wenn Sie nicht von der Gewohnheit abweichen mögen, die Variable auf der linken Seite stehen zu haben, können Sie auch die Seiten vertauschen. Ein Hinüberbringen der Unbekannten wäre in diesem Fall eher unpraktisch, da man einen zusätzlichen Schritt (Division) benötigt:
$\begin{align*}5&=\tfrac 12\cdot (-4)+b\\5&=-2+b&&|-b-5\\-b&=-7&&|:(-1)\\b&=7\end{align*}$

Brüche

Lassen Sie Bruchzahlen unbedingt stehen – der Taschenrechner nimmt Ihnen notfalls das Rechnen ab! Wenn Sie runden, kann es zu erheblichen Abweichungen kommen.

Beispiel 6: $\;\frac 13x+1=-0{,}25x+3$
Auch wenn hier eine Mischung von Brüchen und Dezimalzahlen steht, rechnen Sie mit Brüchen weiter. Falls Sie von Hand Schwierigkeiten haben, lassen Sie den Taschenrechner umwandeln.
$\begin{align*}\tfrac 13x+1&=-0{,}25x+3&&|+0{,}25x-1\\ \tfrac{7}{12}x&=2&&|:\tfrac{7}{12}\text{ bzw. }\cdot \tfrac{12}{7}\\ x&=\tfrac{24}{7}\approx 3{,}43\end{align*}$
Wenn Sie nur die Gleichung lösen sollen, lassen Sie das Ergebnis als Bruch stehen. Wenn Sie das Ergebnis zum Zeichnen benötigen oder in einer Anwendungsaufgabe interpretieren sollen, kann auch die angemessen gerundete Dezimalzahl sinnvoll sein.

Ob Sie durch den Originalbruch dividieren oder mit dem Kehrwert multiplizieren, ist bei Benutzung des Taschenrechners egal (aber Vorsicht bei der Eingabe!). Sobald jedoch zusätzlich zur Variablen weitere Unbekannte – sogenannte Parameter – auftauchen, wird auf jeden Fall mit dem Kehrwert multipliziert.

Gelegentlich findet man die Variable auch direkt im Zähler des Bruches, zum Beispiel $\dfrac{3x}{2}$. Vielen Schülern fällt der Umgang mit solchen Termen leichter, wenn sie das $x$ aus dem Zähler herausziehen: $\dfrac{3x}{2}=\frac 32x$. Wenn man an die unsichtbare 1 denkt, gilt entsprechend $\dfrac x2=\frac 12x$.

Keine Angst vor der Null

Beispiel 7: $\;8x+3=6x+3$
Auch wenn die rechte Seite „verschwindet“, also die Null bei der Division eine Rolle spielt, stutzen Schüler gelegentlich. Dabei ist nur die Division durch Null nicht definiert, während man Null durch eine von Null verschiedene Zahl sehr wohl teilen kann:
$\begin{align*}8x+3&=6x+3&&|-6x-3\\2x&=0&&|:2\\x&=0\end{align*}$

Gleichungen mit Klammern

Hier soll es nur um einfache Klammern gehen.

Beispiel 8: $\;3(x-4)-8(2x-7)=-10x+53$
Bevor man mit der Umstellung der Gleichung beginnt, löst man zunächst die Klammern auf und fasst zusammen. Dann geht es weiter wie gewohnt.
$\begin{align*}3(x-4)-8(2x-7)&=-10x+53\\3x-12-16x+56&=-10x+53\\-13x+44&=-10x+53&&|+10x-44\\-3x&=9&&|:(-3)\\x&=-3\end{align*}$

Keine eindeutige Lösung

Gelegentlich verschwindet das $x$ beim Umformen.

Beispiel 9: $\;2(2x+3)=4x+5$
Klammern auflösen und Äquivalenzumformungen durchführen:
$\begin{align*}2(2x+3)&=4x+5\\4x+6&=4x+5&&|-4x-6\\0&=-1&&\text{ falsche Aussage}\end{align*}$
Die falsche Aussage bedeutet, dass es kein $x$ gibt, das die Gleichung erfüllt. Die Gleichung hat keine Lösung.

Beispiel 10: $\;\frac 12(8x+10)=4x+5$
Klammern auflösen und Äquivalenzumformungen durchführen:
$\begin{align*}\tfrac 12(8x+10)&=4x+5\\4x+5&=4x+5&&|-4x-5\\0&=0&& \text{ wahre Aussage}\end{align*}$
Die wahre Aussage bedeutet, dass die Gleichung für jedes $x\in \mathbb R$ erfüllt ist. Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen.

Als Lösungsmenge könnte man im ersten Fall $\mathbb L=\{\,\}$ (leere Menge), im zweiten Fall $\mathbb L=\mathbb R$ (alle reellen Zahlen) notieren. Wie oben schon bemerkt, ist das in der Oberstufe eher unüblich, da das Ergebnis im Aufgabenzusammenhang gedeutet werden muss.

Übungsaufgaben

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