Einsetzungsverfahren (Wiederholung)

Auf dieser Seite werden lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten betrachtet. Der Text ist keine Einführung für die Mittelstufe, sondern soll das Wichtige für die Oberstufe zusammenfassen.

Ausgangslage und Lösungsidee

Gegeben sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten $x$ und $y$, von der eine Gleichung nach einer Unbekannten aufgelöst ist, also zum Beispiel das folgende System:

$\begin{align*}\text{I }&&2x-3y&=10\\ \text{II }&&y&=4x-5\end{align*}$

Gesucht ist ein Zahlenpaar $(x|y)$, das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Insbesondere muss also das $y$ in beiden Gleichungen übereinstimmen. Wenn wir daher den Term für $y$ aus der unteren Gleichung in die obere Gleichung einsetzen, entsteht eine Gleichung mit einer Unbekannten (hier $x$), die wir lösen können. Den Wert für die andere Unbekannte können wir dann durch Einsetzen in eine der Ausgangsgleichungen ermitteln, vorzugsweise in II, da sie bereits aufgelöst ist und wir sofort $y$ erhalten.

Die Rechnung führen wir im nächsten Abschnitt durch.

Beispiele

Eine Gleichung nach einer Unbekannten aufgelöst

Wir berechnen die Lösung des Gleichungssystems

$\begin{align*}\text{I }&&2x-3\color{#1a1}{y}&=10\\ \text{II }&&\color{#1a1}{y}&=\style{background-color:#fd8}{4x-5}\end{align*}$

Einsetzen von II in I:

$\begin{align*}2x-3(\style{background-color:#fd8}{4x-5})&=10\\2x-12x+15&=10\\-10x+15&=10&&|-15\\-10x&=-5&&|:(-10)\\ \color{#f00}{x}&=\color{#f00}{0{,}5}\end{align*}$

Einsetzen von $x=0{,}5$ in II: $\color{#1a1}{y}=4\cdot \color{#f00}{0{,}5}-5=\color{#1a1}{-3}$

Das Zahlenpaar $(\color{#f00}{0{,}5}|\color{#1a1}{-3})$ ist (einzige) Lösung des Gleichungssystems.

Um das Einsetzungsverfahren unmittelbar anwenden zu können, muss nur eine Gleichung nach einer Unbekannten aufgelöst sein.

Es ist egal, welche Gleichung nach welcher Unbekannten aufgelöst ist. Auch das folgende System lässt sich daher nach dem Einsetzungsverfahren lösen:

$\begin{align*}\text{I }&&\color{#f00}{x}&=\style{background-color:#fd8}{6-2y}\\ \text{II }&&4\color{#f00}{x}+3y&=9\end{align*}$

Einsetzen von I in II:

$\begin{align*}4(\style{background-color:#fd8}{6-2y})+3y&=9\\24-8y+3y&=9\\24-5y&=9&&|-24\\-5y&=-15&&|:(-5)\\ \color{#1a1}{y}&=\color{#1a1}{3}\end{align*}$

Einsetzen von $y=\color{#1a1}{3}$ in I: $\color{#f00}{x}=6-2\cdot \color{#1a1}{3}=\color{#f00}{0}$
Das Zahlenpaar $(\color{#f00}{0}|\color{#1a1}{3})$ ist also (einzige) Lösung des Gleichungssystems.

Beide Gleichungen nach verschiedenen Unbekannten aufgelöst

Im folgenden Beispiel sind beide Gleichungen nach verschiedenen Unbekannten aufgelöst:

$\begin{align*}\text{I }&&x&=-y+2\\ \text{II }&&y&=3x+10\end{align*}$

Hier ist es egal, ob sie I in II oder II in I einsetzen. Als Beispiel sei II in I gewählt. Denken Sie an die Minus-Klammer!

$\begin{align*}x&=-(3x+10)+2\\ x&=-3x-10+2&&|+3x\\ 4x&=-8&&|:4\\x&=-2\end{align*}$

Einsetzen von $x=-2$ in II: $y=3\cdot (-2)+10=4$

Wenn Sie dagegen mit I in II beginnen, erhalten Sie erst $y=4$ und anschließend $x=-2$. Probieren Sie das aus!

Beide Gleichungen nach der gleichen Unbekannten aufgelöst

Und wenn beide Gleichungen nach der gleichen Unbekannten aufgelöst sind, wie im folgenden Beispiel?

$\begin{align*}\text{I }&&y&=2x-1\\ \text{II }&&y&=-6x+1\end{align*}$

Dann geht das Einsetzungs- in das Gleichsetzungsverfahren über. Die Lösung ist übrigens $\big(\frac 14\big|-\frac 12\big)$.

Keine oder unendlich viele Lösungen; anschauliche Deutung

Wie beim Gleichsetzungsverfahren kann auch hier eine wahre oder falsche Aussage entstehen, die entsprechend zu deuten ist. Die Folgerung und die anschauliche Interpretation können Sie dort nachlesen.

Übungsaufgaben (Gleichsetzungs- und Einsetzungsverfahren)

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