Ableitung der Exponentialfunktion: Beispiele

In der Oberstufe wird meist nur die Exponentialfunktion zur Basis $\operatorname{e} \approx 2{,}71828$ (Eulersche Zahl) betrachtet, weil für diese Basis die Ableitung besonders einfach ist:

Die Grundableitung ist also sehr einfach, aber man benötigt praktisch immer die Kettenregel und Produktregel zur Ableitung der üblichen Funktionen. Manchmal (in Hessen nur im LK) ist auch die Quotientenregel erforderlich.

Beispiele für den Grundkurs

Für hessische Grundkurse sind im Abitur momentan laut Lehrplan nur die Beispiele 1 bis 7 wichtig.

Beispiel 1: $\, f(x)=\operatorname{e}^x+x-2$
Diese Funktion lässt sich ohne weitere Regeln ableiten:
$f'(x)=\operatorname{e}^x+1$

Beispiel 2: $\, f(x)=350\operatorname{e}^{-0{,}32x}$
Hier ist die Kettenregel (Spezialfall lineare Verkettung) erforderlich:
$f(x)=350\operatorname{e}^{\color{#f00}{-0{,}32}x} \Rightarrow f'(x)=\color{#f00}{-0{,}32}\cdot 350\operatorname{e}^{-0{,}32x}=-112\operatorname{e}^{-0{,}32x}$

Beispiel 3: $\, f(x)=4\operatorname{e}^{1-x}$
Bei dieser Funktion kommt es häufig zu Fehlern, wenn im Unterricht nur die lineare und nicht die allgemeine Kettenregel behandelt wird. In diesem Fall merken sich viele Schüler, dass mit „der Zahl vorne“ multipliziert werden muss. Tatsächlich ist es aber der Faktor vor dem $x$, also hier $(-1)$:
$f(x)=4\operatorname{e}^{1\color{#f00}{-}x} \; \Rightarrow \; f'(x)=\color{#f00}{-1}\cdot 4\operatorname{e}^{1-x}=-4\operatorname{e}^{1-x}$

Beispiel 4: $\, f(x)=(2x-3)\operatorname{e}^x$
Hier muss man die Produktregel anwenden:
$f'(x)=2\cdot \operatorname{e}^x+(2x-3)\cdot \operatorname{e}^x$
Typisch für diesen Funktionstyp ist es, dass man anschließend $\operatorname{e}^x$ wieder ausklammern und dann vereinfachen kann:
$\begin{align*}f'(x) &= \color{#f00}{2}\cdot \operatorname{e}^x\color{#a61}{+}\color{#1a1}{(2x-3)}\cdot \operatorname{e}^x\\ &= \operatorname{e}^x\cdot (\color{#f00}{2} \color{#a61}{+} \color{#1a1}{2x-3})\\ &= \operatorname{e}^x\cdot (2x-1)\end{align*}$

Beispiel 5: $\, f(x)=\dfrac{2x+6}{\operatorname{e}^{0{,}5x}} $
Das sieht zunächst nach einem Bruch aus, aber da im Nenner nur eine Potenz steht, kann man die Potenz mit dem entsprechenden negativen Exponenten in den Zähler schreiben und erhält ein Produkt:
$f(x)=(2x+6) \cdot \operatorname{e}^{-0{,}5x}$
Auf diesen Funktionsterm muss man nun sowohl die Produktregel als auch (für den zweiten Faktor) die Kettenregel anwenden:
$f'(x)=2 \cdot \operatorname{e}^{-0{,}5x}+(2x+6) \cdot (-0{,}5) \cdot \operatorname{e}^{-0{,}5x}$
Auch hier kann man den e-Anteil wieder ausklammern. Manche Schüler finden die Vorstellung hilfreich, sich diesen Anteil wegzudenken:
$\begin{align*} f'(x) &= \color{#f00}{2} \color{#999}{\cdot \operatorname{e}^{-0{,}5x}} \color{#a61}{+} \color{#1a1}{(2x+6) \cdot (-0{,}5)} \color{#999}{\cdot \operatorname{e}^{-0{,}5x}}\\ &=\color{#999}{\operatorname{e}^{-0{,}5x} \cdot} [\color{#f00}{2} \color{#a61}{+} \color{#1a1}{(2x+6) \cdot (-0{,}5)}]\\ &= \operatorname{e}^{-0{,}5x} \cdot (\color{#f00}{2} \color{#1a1}{- x-3})\\ &= \operatorname{e}^{-0{,}5x} \cdot (- x-1)\end{align*}$
Sobald man etwas Übung hat, lässt man die zweite Zeile weg. Für die zweite Ableitung schreibt man dann folgende Schritte auf:
$\begin{align*}f''(x) &= -0{,}5 \color{#999}{\cdot \operatorname{e}^{-0{,}5x}}(-x-1)+\color{#999}{\operatorname{e}^{-0{,}5x} \cdot} (-1)\\ &= \operatorname{e}^{-0{,}5x} \cdot (0{,}5x+0{,}5-1)\\ &= \operatorname{e}^{-0{,}5x} \cdot (0{,}5x-0{,}5)\end{align*}$

Beispiel 6: $\, f_t(x)=(x+t)\operatorname{e}^{t-x}$
Gleicher Typ, nur mit Parameter (Kurvenschar):
$\begin{align*}f_t'(x) &= 1 \cdot \operatorname{e}^{t-x}+(x+t)(-1) \cdot \operatorname{e}^{t-x}\\ &= \operatorname{e}^{t-x} \cdot (1-x-t)\end{align*}$

Beispiel 7: $\, f(x)=50\operatorname{e}^{-0{,}28x}\left(1-\operatorname{e}^{-0{,}18x}\right)$
Dieser Funktionstyp tritt bei bestimmten Zerfallsprozessen auf. Man kann die Ableitung mit Produkt- und Kettenregel bilden. Einfacher ist es jedoch, zunächst die Klammer aufzulösen, dann ausschließlich mit der Kettenregel abzuleiten und anschließend den ursprünglich ausgeklammerten e-Anteil wieder auszuklammern:
$\begin{align*}f(x) &= 50\operatorname{e}^{-0{,}28x}-50\operatorname{e}^{-0{,}46x}\\ f'(x) &= -14\operatorname{e}^{-0{,}28x}+23\operatorname{e}^{-0{,}46x}\\ &= \operatorname{e}^{-0{,}28x}\left(-14+23\operatorname{e}^{-0{,}18x}\right)\end{align*}$

Als Alternative der Weg über Produkt- und Kettenregel:
$\begin{align*}f(x) &=50\operatorname{e}^{-0{,}28x}\left(1-\operatorname{e}^{-0{,}18x}\right)\\ f'(x) &= -14\operatorname{e}^{-0{,}28x}\left(1-\operatorname{e}^{-0{,}18x}\right)+50\operatorname{e}^{-0{,}28x}\cdot 0{,}18\operatorname{e}^{-0{,}18x}\\ &= \operatorname{e}^{-0{,}28x}\left(-14\left(1-\operatorname{e}^{-0{,}18x}\right) +50\cdot 0{,}18 \operatorname{e}^{-0{,}18x}\right)\\&= \operatorname{e}^{-0{,}28x}\left(-14 +14 \operatorname{e}^{-0{,}18x} +9 \operatorname{e}^{-0{,}18x}\right)\\&= \operatorname{e}^{-0{,}28x}\left(-14 +23 \operatorname{e}^{-0{,}18x}\right) \end{align*}$

Beispiele für den Leistungskurs

Beispiel 8: $\, f_t(x)=x\operatorname{e}^{-tx^2} $
Produkt- und allgemeine Kettenregel:
$\begin{align*}f_t'(x) &= 1 \cdot \operatorname{e}^{-tx^2}+x\operatorname{e}^{-tx^2} \cdot (-2tx)\\ &= (1-2tx^2)\operatorname{e}^{-tx^2}\end{align*}$

Beispiel 9: $\, f_t(x)=(\operatorname{e}^{-x}-t)^2 $
Allgemeine und lineare Kettenregel:
$\begin{align*}f_t'(x) &= 2(\operatorname{e}^{-x}-t) \cdot (-\operatorname{e}^{-x})\\ &=-2\operatorname{e}^{-x}(\operatorname{e}^{-x}-t)\end{align*}$
Für die zweite Ableitung löst man am besten die Klammer auf:
$ \begin{align*}f_t'(x) &= -2\operatorname{e}^{-2x}+2t\operatorname{e}^{-x}\\ f_t''(x) &= 4\operatorname{e}^{-2x}-2t\operatorname{e}^{-x}\\ &=\operatorname{e}^{-x}\left(4\operatorname{e}^{-x}-2t\right) \end{align*}$

Beispiel 10: $\, f_k(x)=\dfrac{3 \operatorname{e}^x}{k+\operatorname{e}^x} $

Es ist zwar möglich, die Funktion nach $f_k(x)=3 \operatorname{e}^x \cdot (k+\operatorname{e}^x )^{-1}$ umzuschreiben und dann mittels Produkt- und Kettenregel abzuleiten, aber üblicherweise wendet man die Quotientenregel an:
$\begin{align*}f_k'(x)&=\dfrac{3\operatorname{e}^x \cdot (k+\operatorname{e}^x )-3\operatorname{e}^x \cdot \operatorname{e}^x }{(k+\operatorname{e}^x )^2}\\ &=\dfrac{3\operatorname{e}^x\left[ (k+\operatorname{e}^x)-\operatorname{e}^{x}\right] }{(k+\operatorname{e}^x )^2} \\ &=\dfrac{3k\operatorname{e}^x}{(k+\operatorname{e}^x )^2}\end{align*}$
Bei der folgenden Ableitung tritt das für die Quotientenregel typische Phänomen auf, dass man im Zähler ausklammern und mit dem Nenner kürzen kann:
$\begin{align*}f_k''(x)&=\dfrac{3k\operatorname{e}^x \cdot \left(k+\operatorname{e}^x \right)^2-3k\operatorname{e}^x \cdot 2(k+\operatorname{e}^x) \cdot \operatorname{e}^x}{(k+\operatorname{e}^x )^4}\\ &=\dfrac{3k\operatorname{e}^x\cdot (k+\operatorname{e}^x) \cdot \left[ (k+\operatorname{e}^x)-2\operatorname{e}^{x}\right] }{(k+\operatorname{e}^x )^4} \\ &=\dfrac{3k\operatorname{e}^x(k-\operatorname{e}^x )}{(k+\operatorname{e}^x )^3}\end{align*}$

Natürlich kann man beliebig komplizierte Beispiele erfinden. Ich habe mich auf die Ableitung der Exponentialfunktionen konzentriert, die üblicherweise im Rahmen einer Kurvendiskussion vorkommen. Wenn Sie diese Beispiele problemlos anwenden können, können Sie das Verfahren auch auf die Aufgaben übertragen, die eher den Charakter einer „Technik-Übung“ haben.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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