Rechtsseitiger Hypothesentest mithilfe der Tabellen zur Binomialverteilung – Basiswissen
Bei einem rechtsseitigen Hypothesentest sprechen große Werte der Zufallsvariablen gegen die Hypothese, also Werte, die rechts auf dem Zahlenstrahl bzw. rechts vom Erwartungswert liegen. Wenn eine Firma behauptet, sie habe bei der Produktion von Taschenrechnern eine Ausschussquote von höchstens 5 %, macht es uns stutzig, wenn zu viele defekte Taschenrechner reklamiert werden.
Folgendes Vorgehen ist empfehlenswert:
Ablaufschema beim rechtsseitigen Hypothesentest
Festlegung der Hypothesen: $H_0\colon p \leq p_0$; $H_1\colon p > p_0$
Festlegung des Stichprobenumfangs $n$ und der Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$
Festlegung der Zufallsvariablen $X$ (immer) und ihrer Verteilung (verlangen manche Lehrer nicht; in der Schule ist es fast immer die Binomialverteilung)
Bestimmung der rechten Grenze $g_r$ aus der Bedingung $P(X\geq g_r) \leq \alpha$ und damit des Ablehnungsbereichs $K=\{g_r, \ldots , n\}$
Angabe der Entscheidungsregel oder Entscheidung aufgrund eines konkreten Stichprobenergebnisses
Beispiel
Die Behauptung der Firma soll mit einer Stichprobe von 100 Taschenrechnern untersucht werden. Wie viele defekte Taschenrechner müssen mindestens gefunden werden, damit man bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 10 % schließen kann, dass die Ausschussquote höher als von der Firma angegeben ist?
Lösung
Wir führen den Hypothesentest nach dem Muster durch:
$H_0\colon p \leq 0{,}05$; $H_1\colon p > 0{,}05$
$n=100$; $\alpha =0{,}10$
$X =$ Anzahl der defekten Taschenrechner in der Stichprobe
$X$ ist bei wahrer Nullhypothese binomialverteilt mit den Parametern $n=100$ und $p=0{,}05$
Ansatz: $P(X\geq g_r) \leq 0{,}10$
Da eine solche Wahrscheinlichkeit nicht direkt aus der Tabelle abgelesen werden kann, muss man zunächst umformen bzw. zum Gegenereignis übergehen:
$\begin{align*}P(X\geq g_r)&\leq 0{,}10\\ P(X\leq g_r-1) &\geq 0{,}90\\ g_r-1&= 8 &&\text{(aus Tabelle)}\\ g_r &= 9\end{align*}$
Ablehnungsbereich $K=\{9, \ldots, 100\}$
Wenn mindestens 9 defekte Taschenrechner entdeckt werden, kann man bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 10 % behaupten, dass die Angaben der Firma nicht zutreffen.
Nur wenn ein Stichprobenergebnis bekannt wäre, könnte man ein konkretes Urteil fällen.
Ablehnungsbereich für p0 > 0,5
Bei den meisten Tabellen muss man in diesem Fall den „zweiten Eingang“ benutzen. Da hier „eins minus abgelesener Wert“ gilt, sucht man deswegen nicht nach einem Wert über 0,9 (für $\alpha =0{,}1$), sondern nach einem Wert unter 0,1.
Für $n=50$, $p_0=0{,}7$ und $\alpha =0{,}05$ erhält man $g_r=40$. Prüfen Sie dies nach!