Linksseitiger Hypothesentest mithilfe der Tabellen zur Binomialverteilung – Basiswissen
Bei einem linksseitigen Hypothesentest sprechen kleine Werte der Zufallsvariablen gegen die Hypothese, also Werte, die links auf dem Zahlenstrahl bzw. links vom Erwartungswert liegen. Wenn eine Partei behauptet, sie habe einen Stimmenanteil von mindestens 40 %, macht es uns stutzig, wenn zu wenige Leute behaupten, diese Partei wählen zu wollen.
Folgendes Vorgehen ist empfehlenswert:
Ablaufschema beim linksseitigen Hypothesentest
Festlegung der Hypothesen: $H_0\colon p \geq p_0$; $H_1\colon p < p_0$
Festlegung des Stichprobenumfangs $n$ und der Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$
Festlegung der Zufallsvariablen $X$ (immer) und ihrer Verteilung (verlangen manche Lehrer nicht; in der Schule ist es fast immer die Binomialverteilung)
Bestimmung der linken Grenze $g_l$ aus der Bedingung $P(X\leq g_l) \leq \alpha$ und damit des Ablehnungsbereichs $K=\{0, \ldots , g_l\}$
Angabe der Entscheidungsregel oder Entscheidung aufgrund eines konkreten Stichprobenergebnisses
Beispiel
Bei einer Wahl hatte eine Partei einen Stimmenanteil von 40 %. Nach der Wahl hat sie einige unbequeme Maßnahmen ergriffen, und man vermutet, dass der Stimmenanteil gesunken ist. Bei einer Umfrage unter 100 Personen geben 33 an, dass sie die Partei wieder wählen würden. Kann man hieraus bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % schließen, dass der Stimmenanteil gesunken ist?
Lösung
Wir führen den Hypothesentest nach dem Muster durch:
$H_0\colon p ≥ 0{,}4$; $H_1\colon p < 0{,}4$
$n=100$; $\alpha =0{,}05$
$X =$ Anzahl der Personen in der Stichprobe, die die Partei wieder wählen würden
$X$ ist bei wahrer Nullhypothese binomialverteilt mit den Parametern $n=100$ und $p=0{,}4$
Da $33 \notin K$ ist, kann man bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % nicht behaupten, dass der Stimmenanteil der Partei gesunken ist.
Wäre kein Stichprobenergebnis bekannt, so würde man an dieser Stelle die Entscheidungsregel formulieren: Wenn höchstens 31 Leute angeben, die Partei wieder wählen zu wollen, kann man bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % behaupten, dass der Stimmenanteil der Partei gesunken ist.
Ablehnungsbereich für p0 > 0,5
Bei den meisten Tabellen muss man in diesem Fall den „zweiten Eingang“ benutzen. Da hier „eins minus abgelesener Wert“ gilt, sucht man deswegen nicht nach einem Wert unter $\alpha$, sondern nach einem Wert über $1-\alpha$.
Für $n=50$, $p_0=0{,}7$ und $\alpha=0{,}05$ erhält man $g_l=29$. Prüfen Sie dies nach!