Rekonstruktion von Funktionen: Musteraufgabe

Üblicherweise ist bei der Bestimmung ganzrationaler Funktionen der Grad vorgegeben. Dann geht man nach folgendem Muster vor:

Beispiel

Gesucht ist die Gleichung einer ganzrationalen Funktionen vierten Grades. Ihr Graph hat einen Wendepunkt auf der $y$-Achse; der Anstieg der Tangente beträgt dort $-8$. Der Graph hat eine Nullstelle bei $x=1$ und den Tiefpunkt $T(2|-7)$.

1. Der Grad ist vier. Also lautet der Ansatz:
   $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$
   Da von einem Wendepunkt die Rede ist, bestimmen wir auch die ersten beiden Ableitungen:
   $f'(x) = 4ax^3+3bx^2+2cx+d$
   $f''(x)=12ax^2+6bx+2c$
   Für die Ermittlung der Funktionsgleichung verwendet man nur die notwendigen Bedingungen. Die hinreichenden Bedingungen sind Ungleichungen, helfen also nicht bei der Bestimmung der Unbekannten.
2. Für die fünf Unbekannten müssen wir nun fünf Informationen aus dem Text entnehmen.
   • Ihr Graph hat einen Wendepunkt auf der $y$-Achse…
     Bei $x = 0$ liegt eine Wendestelle vor. Bei einem Wendepunkt muss die zweite Ableitung 0 ergeben, also $f''(0) = 0$.
   • … der Anstieg der Tangente beträgt dort $-8$.
     Bei $x = 0$ (es geht immer noch um den Wendepunkt) ist die Steigung $-8$. Da die Steigung mit der ersten Ableitung berechnet wird, lautet die Bedingung $f'(0) = -8$.
   • Der Graph hat eine Nullstelle bei $x = 1$…
     Der Graph geht durch den Punkt $P(1|0)$, also $f(1) = 0$.
   • … und den Tiefpunkt $T(2|-7)$.
     Hier sind zwei Informationen enthalten: der Graph geht durch den Punkt $T(2|-7)$, und bei $x = 2$ liegt eine Minimalstelle vor. Damit erhält man die letzten beiden Bedingungen $f(2) = -7$ und $f'(2) = 0$.
   Die Bedingungen müssen nun in Gleichungen übersetzt werden. Als Beispiel soll $f'(2) = 0$ dienen:
   $\begin{align*}f'(2) &= 0& 4a\cdot 2^3+3b\cdot 2^2+2c\cdot 2+d&= 0\\ && 32a+ 12b+4c+d&=0\end{align*}$
   Führt man dies für alle Bedingungen durch, erhält man folgende Gleichungen:
   $\begin{alignat*}{8} &f''(0)=0\quad &&\text{I }\quad &&\,\,&&\,\,&2c&\,\,&&\,\,&&\,=\,&0\qquad &\\ &f'(0)=-8\quad &&\text{II }\quad &&\,\,&&\,\,&&\,\,&d&\,\,&&\,=\,&-8\qquad &\\ &f(1)=0\quad &&\text{III }\quad &a&\,+\,&b&\,+\,&c&\,+\,&d&\,+\,&e&\,=\,&0\qquad &\\ &f(2)=-7\quad &&\text{VI }\quad &16a&\,+\,&8b&\,+\,&4c&\,+\,&2d&\,+\,&e&\,=\,&-7\qquad &\\ &f'(2)=0\quad &&\text{V }\quad &32a&\,+\,&12b&\,+\,&4c&\,+\,&d&\,\,&&\,=\,&0\qquad &\\ \end{alignat*}$
3. Aus den ersten beiden Gleichungen erhält man sofort $c=0$ und $d=-8$. Diese Werte setzt man in die anderen Gleichungen ein und stellt das zu lösende Gleichungssystem auf. Als Beispiel die vierte Gleichung:
   $\begin{align*}16a+8b+4\cdot 0+2\cdot (-8)+e&=-7&&|+16\\16a+8b+e &= 9\end{align*}$
   Das endgültig zu lösende System lautet damit:
   $\begin{alignat*}{6} &\text{III }\quad &a&\,+\,&b&\,+\,&e&\,=\,&8\qquad &\\ &\text{IV }\quad &16a&\,+\,&8b&\,+\,&e&\,=\,&9\qquad &\\ &\text{V }\quad &32a&\,+\,&12b&\,\,&&\,=\,&8\qquad &\\ \end{alignat*}$
4. Wenn man im Unterricht die Rekonstruktion von Funktionen behandelt, ist das Gauß-Verfahren (ein übersichtliches Verfahren zum systematischen Lösen von Gleichungssystemen) oft noch nicht bekannt. In diesem Fall ist die Lösung noch recht einfach: man eliminiert mit dem Additionsverfahren zunächst $e$, die neue Gleichung bekommt die Nummer VI. Hier wird Gleichung III mit $-1$ mulitpliziert, um unterschiedliche Vorzeichen bei der Unbekannten $e$ zu erzeugen. Es wäre auch möglich, Gleichung III von IV abzuziehen (größere Fehlergefahr!).
   $\begin{alignat*}{6} &\text{III}\cdot (-1)\quad &-a&\,-\,&b&\,-\,&e&\,=\,&-8 &\\ &\text{IV }\quad &16a&\,+\,&8b&\,+\,&e&\,=\,&9 &\\ \hline &\text{VI }\quad &15a&\,+\,&7b&\,\,&&\,=\,&1 &\\ \end{alignat*}$
   Auf die fünfte und die sechste Gleichung wendet man wieder das Additionsverfahren an. Jetzt müssen beide Gleichungen erst geeignet multipliziert werden.
   $\begin{alignat*}{6} &\text{V}\cdot (-7)\quad &-224a&\,-\,&84b&\,\,&&\,=\,&-56 &\\ &\text{VI}\cdot 12\quad &180a&\,+\,&84b&\,\,&&\,=\,&12 &\\ \hline &\quad &-44a&\,\,&&\,\,&&\,=\,&-44 &\\ \end{alignat*}$
   Nun kann man mit dem Auflösen beginnen. Sobald man die erste Unbekannte ermittelt hat, bekommt man die weiteren Unbekannten durch Einsetzen:
   $\begin{align*}&&-44a&=-44 \qquad &&|:(-1)\\ &&a&=1\\ &a \text{ in VI} &15\cdot 1+7b&=1 &&|-15\\ &&7b&=-14 &&|:7\\ &&b&=-2\\ &a, b \text{ in III}&1-2+e&=8&&|-1+2\\ &&e&=9 \end{align*}$
   Die Funktionsgleichung lautet damit $f(x) = x^4-2x^3-8x+9$.
   Wenn auch die V. Gleichung die Unbekannte $e$ enthalten hätte, hätte man $e$ zunächst ein weiteres Mal (zum Beispiel mit III und V) eliminiert und Gleichung VII erhalten. Erst dann hätte man mit VI und VII das Additionsverfahren anwenden können, um $a$ zu berechnen.
5. Einige Lehrer verlangen, dass die Funktion daraufhin überprüft wird, ob sie auch wirklich den Bedingungen genügt. Da die notwendigen Bedingungen durch das Gleichungssystem bereits erfüllt sind, muss man nur noch die hinreichenden Bedingungen prüfen.
   In diesem Fall ist also die Frage, ob bei $x=0$ eine Wendestelle und bei $x=2$ eine Minimalstelle vorliegt. Man bildet zunächst die Ableitungen:
   $\begin{align*}f'(x)&=4x^3-6x^2-8\\ f''(x) &=24x^2-12x\\ f'''(x)&=48x-12\end{align*}$
   Prüfen der hinreichenden Bedingungen:
   $f'''(0)=-12\not= 0\;\Rightarrow$ Wendestelle bei $x=0$
   $f''(2)=24\cdot 2^2-12\cdot 2 =72>0\;\Rightarrow$ Minimalstelle bei $x=2$
   Die Funktionsgleichung erfüllt damit alle Bedingungen.
   Wenn die Frage lautet, ob es eine Funktion mit den genannten Eigenschaften gibt, müssen die hinreichenden Bedingungen auf jeden Fall geprüft werden.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 03.12.2015;   © Ina de Brabandt

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