Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Lösungen
Dies sind nur Kurzlösungen; die Länge der Lösung spiegelt also nicht das wider, was der Operator in der Aufgabenstellung verlangt.
Ich verwende die üblichen Abkürzungen, also $S_y$ für den Schnittpunkt mit der $y$-Achse, $N$ für Nullstelle (genau genommen Schnittpunkt mit der $x$-Achse), $H/T$ für Hoch- und Tiefpunkte, $W$ für Wendepunkt und $S$ für Sattelpunkt.
$f(x)=-\frac{1}{20} x^3+15x$
$f'(x)=-\frac{3}{20}x^2+15$
$f''(x)=-\frac{3}{10}x$
$f'''(x)=-\frac{3}{10}$
Punktsymmetrie zum Ursprung, da alle Exponenten ungerade
$x\to -\infty \Rightarrow f(x) \to +\infty$
$x\to +\infty \Rightarrow f(x) \to -\infty$
$S_y(0|0)$
$N_1(0|0)$; $N_2(17{,}32|0)$; $N_3(-17{,}32|0)$
$H(10|100)$; $T(-10|-100)$
$W(0|0)$
$f(x)=\frac 19x^3-\frac 16x^2-2x$
$f'(x)=\frac 13x^2 -\frac 13x-2$
$f''(x)=\frac 23x-\frac 13$
$f'''(x)=\frac 23$
keine Symmetrie erkennbar, da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorhanden
$x\to -\infty \Rightarrow f(x) \to -\infty$
$x\to +\infty \Rightarrow f(x) \to +\infty$
$S_y(0|0)$
$N_1(0|0)$; $N_2(5{,}06|0)$; $N_3(-3{,}56|0)$
$T(3|-4{,}5)$; $H\left(-2\big|\frac{22}{9}\right)$
$W\left(0{,}5\big|-\frac{37}{36}\right)$
$f(x)=1{,}5x^4+x^3-9x^2$
$f'(x)=6x^3+3x^2-18x$
$f''(x)=18x^2+6x-18$
$f'''(x)=36x+6$
keine Symmetrie erkennbar, da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorhanden
$x\to -\infty \Rightarrow f(x) \to +\infty$
$x\to +\infty \Rightarrow f(x) \to +\infty$
$S_y(0|0)$
$N_{1,2}(0|0)$; $N_3(2{,}14|0)$; $N_4(-2{,}81|0)$
$H(0|0)$; $T_1(1{,}5|-9{,}28)$; $T_2(-2|-20)$
$W_1(0{,}85|-5{,}08)$; $W_2(-1{,}18|-11{,}27)$
$f(x)=x^3-6x^2+9x$
$f'(x)=3x^2-12x+9$
$f''(x)=6x-12$
$f'''(x)=6$
keine Symmetrie erkennbar, da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorhanden
$x\to -\infty \Rightarrow f(x) \to -\infty$
$x\to +\infty \Rightarrow f(x) \to +\infty$
$S_y(0|0)$
$N_1(0|0)$; $N_{2,3}(3|0)$
$H(1|4)$; $T(3|0)$
$W(2|2)$
$f(x)=-\frac{1}{20}x^4+\frac 65x^2-4$
$f'(x)=-\frac 15x^3+\frac{12}{5}x$
$f''(x)=-\frac 35x^2+\frac{12}{5}$
$f'''(x)=-\frac 65x$
Achsensymmetrie zur $y$-Achse, da nur gerade Exponenten vorhanden
$x\to -\infty \Rightarrow f(x) \to -\infty$
$x\to +\infty \Rightarrow f(x) \to -\infty$
$S_y(0|-4)$
$N_1(2|0)$; $N_2(-2|0)$; $N_3(4{,}47|0)$; $N_4(-4{,}47|0)$
$T(0|-4)$; $H_1(3{,}46|3{,}2)$; $H_2(-3{,}46|3{,}2)$
$W_1(2|0)$; $W_2(-2|0)$
$f(x)=-\frac{1}{36}\cdot (3x^5-50x^3+135x)$
$f'(x)=-\frac{1}{36}\cdot (15x^4-150x^2+135)$
$f''(x)=-\frac{1}{36}\cdot (60x^3-300x)$
$f'''(x)=-\frac{1}{36}\cdot (180x^2-300)$
Punktsymmetrie zum Ursprung, da nur ungerade Exponenten vorhanden
$x\to -\infty \Rightarrow f(x) \to +\infty$
$x\to +\infty \Rightarrow f(x) \to -\infty$
$S_y(0|0)$
$N_1(0|0)$; $N_2(3{,}64|0)$; $N_3(-3{,}64|0)$; $N_4(1{,}84|0)$; $N_{5}(-1{,}84|0)$
$T_1(-3|-6)$; $H_1(3|6)$; $H_2\left(-1\big|\frac{22}{9}\right)$; $T_2\left(1\big|-\frac{22}{9}\right)$
$W_1(0|0)$; $W_2(2{,}24|-2{,}48)$; $W_3(-2{,}24|2{,}48)$
$f(x)=x^3+4x^2-11x-30$
$f'(x)=3x^2+8x-11$
$f''(x)=6x+8$
$f'''(x)=6$
keine Symmetrie erkennbar, da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorhanden
$x\to -\infty \Rightarrow f(x) \to -\infty$
$x\to +\infty \Rightarrow f(x) \to +\infty$
$S_y(0|-30)$
$N_1(3|0)$; $N_2(-2|0)$; $N_3(-5|0)$
$T(1|-36)$; $H\left(-\frac{11}{3}\big|\frac{400}{27}\right)$
$W\left(-\frac 43\big|-\frac{286}{27}\right)$
$f(x)=\frac 19x^5-\frac{20}{27}x^4+\frac{10}{9}x^3$
$f'(x)=\frac 59x^4-\frac{80}{27}x^3+\frac{10}{3}x^2$
$f''(x)=\frac{20}{9}x^3-\frac{80}{9}x^2+\frac{20}{3}x$
$f'''(x)=\frac{20}{3}x^2-\frac{160}{9}x+\frac{20}{3}$
keine Symmetrie erkennbar, da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorhanden
$x\to -\infty \Rightarrow f(x) \to -\infty$
$x\to +\infty \Rightarrow f(x) \to +\infty$
$S_y(0|0)$
$N_{1,2,3}(0|0)$; $N_4(4{,}39|0)$; $N_{5}(2{,}28|0)$
$T(3{,}72|-5{,}50)$; $H(1{,}61|0{,}86)$
$W_1(1|0{,}48)$; $W_2(3|-3)$
$S(0|0)$
$f(x)=x^4+x^3-11x^2+20$
$f'(x)=4x^3+3x^2-22x$
$f''(x)=12x^2+6x-22$
$f'''(x)=24x+6$
keine Symmetrie erkennbar, da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorhanden
$x\to -\infty \Rightarrow f(x) \to +\infty$
$x\to +\infty \Rightarrow f(x) \to +\infty$
$S_y(0|20)$
$N_{1,2}(2|0)$; $N_3(-1{,}38|0)$; $N_4(-3{,}61|0)$
$H(0|20)$; $T_1(2|0)$; $T_2(-2{,}75|-26{,}79)$
$W_1(1{,}13|9{,}07)$; $W_2(-1{,}63|-6{,}42)$
$f(x)=\frac{1}{32}\cdot (5x^4-x^5)$
$f'(x)=\frac{1}{32}\cdot (20x^3-5x^4)$
$f''(x)=\frac{1}{32}\cdot (60x^2-20x^3)$
$f'''(x)=\frac{1}{32}\cdot (120x-60x^2)$
keine Symmetrie erkennbar, da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorhanden
$x\to -\infty \Rightarrow f(x) \to +\infty$
$x\to +\infty \Rightarrow f(x) \to -\infty$
$S_y(0|0)$
$N_{1,2,3,4}(0|0)$; $N_{5}(5|0)$
$T(0|0)$; $H(4|8)$
$W(3|5{,}06)$
Den Tiefpunkt weist man am besten mit dem Vorzeichenwechselkriterium nach. Da kritische Werte für Extrema bei $x=0$ und $x=4$ liegen, kann man als Testwerte $-1$ und $1$ verwenden:
$f'(-1)=-\frac{25}{32} < 0$
$f'(1)=\frac{15}{32} > 0$
Da ein VZW von „$-$“ nach „$+$“ stattfindet, liegt bei $x=0$ eine Minimalstelle vor.
Letzte Aktualisierung: 02.12.2015; © Ina de Brabandt
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