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Mathematik in der Oberstufe

Extremwertaufgaben im Koordinatensystem: ein Graph

  1. Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=\frac 18x^3-\frac 32x^2+\frac 92x$ (Abb. 1). Die Punkte $O(0|0)$, $Q(u|0)$ und der Kurvenpunkt $P(u|f(u))$ mit $0 < u < 6$ bilden ein Dreieck. Berechnen Sie $u$ so, dass der Inhalt des Dreiecks $OPQ$ maximal wird, und ermitteln Sie den maximalen Flächeninhalt.
    Extremwertaufgeben 1 und 2: f(x)=1/8x^3-1.5x^2+4.5x und f(x)=-x^2/3+4
  2. Gegeben ist die Funktion $f(x)=-\frac 13x^2+4$ (Abb. 2). Dem Graphen wird ein achsenparalleles Rechteck einbeschrieben, wobei eine Seite auf der $x$-Achse liegt und der Punkt $P$ einer der Eckpunkte des Rechtecks ist. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $P$ so, dass
    1. der Umfang des Rechtecks maximal wird. Berechnen Sie auch den maximalen Umfang.
    2. der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird. Berechnen Sie auch den maximalen Flächeninhalt.
  3. Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung $f(x)=0{,}25x^2+2x+3{,}25$.
    1. Ermitteln Sie die Achsenschnittpunkte und skizzieren Sie die Parabel in ein Koordinatensystem.
    2. $P(u|f(u))$ sei ein Punkt der Parabel im zweiten Quadranten mit $u\geq -2{,}5$. Die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch diesen Punkt bilden mit den Koordinatenachsen ein Rechteck. Berechnen Sie die Koordinaten von $P$ so, dass der Flächeninhalt maximal wird, und geben Sie den maximalen Flächeninhalt an.
  4. Gegeben ist die Parabel $f(x)=3{,}5x-0{,}5x^2$.
    1. Ermitteln Sie die Nullstellen und den Extrempunkt. Skizzieren Sie die Parabel in ein Koordinatensystem.
    2. Zwischen Parabel und $x$-Achse soll ein Rechteck so einbeschrieben werden, dass zwei Eckpunkte auf der $x$-Achse und zwei Eckpunkte auf der Parabel liegen. Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte so, dass der Flächeninhalt maximal wird, und geben Sie den maximalen Flächeninhalt an.

Lösungen

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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