Minimale oder maximale Entfernung von Funktionsgraphen

Auf dieser Seite wird die folgende klassische Extremwertaufgabe untersucht:
Gegeben sind zwei Funktionen $f$ und $g$ sowie eine Gerade $x = u$. Die Gerade $x = u$ schneidet den Graphen von $f$ im Punkt $P$ und den Graphen von $g$ im Punkt $Q$. Gesucht ist der Wert von $u$, für den die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ minimal oder maximal wird.

Das erste Beispiel wird vollständig durchgerechnet. Das zweite Beispiel beleuchtet im Wesentlichen die Unterschiede zur Standardaufgabe.

Beispiel 1: Keine Schnittpunkte

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit den Gleichungen $f(x)=0{,}5x^2-4x+13$ und $g(x)=-1{,}5x^2+6x-4$. Die Gerade $x=u$ schneidet den Graphen von $f$ im Punkt $P$ und den Graphen von $g$ im Punkt $Q$. Für welchen Wert von $u$ ist die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ minimal, und wie lang ist die minimale Streckenlänge?

Wir schauen uns zunächst die Graphen an. Üblicherweise bekommt man die Graphen oder muss sie in einer vorangehenden Teilaufgabe skizzieren.

Da der Graph von $f(x)$ eine nach oben geöffnete Parabel ist, stellt der blaue Graph $f(x)$ dar. Er liegt stets oberhalb des Graphen von $g(x)$. Die Gerade $x=u$ ist eine zur $y$-Achse parallele Gerade; sie wird zunächst an einer beliebigen Stelle gezeichnet, um das Problem zu veranschaulichen. Die tatsächliche Lage im Sinne der Aufgabenstellung kennen wir ja noch nicht.

Graphen von f(x)=0,5x^2-4x+13 und g(x)=-1,5x^2+6x-4

Da die beiden Punkte auf der Geraden $x=u$ liegen, sind die $x$-Werte gleich. Ihre Entfernung erhält man also ganz einfach, indem man die $y$-Werte voneinander abzieht.

Die Extremwertberechnung wird jetzt mit den üblichen fünf Schritten durchgeführt:

Extremalbedingung / Hauptbedingung
$d=y_P-y_Q$ soll minimal werden
Nebenbedingungen
Da $P$ bzw. $Q$ auf dem Graphen von $f$ bzw. $g$ liegen, gilt:
$y_P=f(u)=0{,}5u^2-4u+13$
$y_Q=g(u)=-1{,}5u^2+6u-4$
Zielfunktion
Die Nebenbedingungen werden in die Hauptbedingung eingesetzt:
$\begin{align*}d(u)&=(0{,}5u^2-4u+13)-(-1{,}5u^2+6u-4)\\ &=0{,}5u^2-4u+13+1{,}5u^2-6u+4\\ &=2u^2-10u+17\end{align*}$
Extremwertberechnung
Ableitungen:
$d'(u)=4u-10$
$d''(u)=4$
Notwendige Bedingung: $d'(u)=0$
$\begin{align*}4u-10&=0&&|+10\\ 4u&=10&&|:4\\u&=2{,}5\end{align*}$
Hinreichende Bedingung: $d'(u)=0$ und $d''(u)\not=0$
$d''(2{,}5)=4>0\Rightarrow$ Minimum bei $u=2{,}5$

Alternative: Da die Zielfunktion quadratisch ist, kann der Extrempunkt auch als Scheitelpunkt berechnet werden:
$\begin{align*}d(u)&= 2\cdot(u^2-5u+2{,}5^2-2{,}5^2+8{,}5)\\ & =2\cdot[(u - 2{,}5)^2+2{,}25]\\ &= 2\cdot(u-2{,}5)^2+4{,}5&& \Rightarrow SP(2{,}5|4{,}5)\end{align*}$
Da die Parabel der Zielfunktion nach oben geöffnet ist, handelt es sich um einen Tiefpunkt.
Ergebnisse
Für $u=2{,}5$ ist die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ am kleinsten, und es gilt:
$\overline{PQ}_{\text{min}}=d(2{,}5)=4{,}5 \text{ LE}$ (Längeneinheiten).

In der Aufgabenstellung war in diesem Fall nicht nach den Koordinaten von $P$ und $Q$ gefragt. Da dies manchmal Teil der Aufgabe ist, werden sie hier zusätzlich berechnet:
$y_P = f(2{,}5) = 6{,}125 \Rightarrow P(2{,}5|6{,}125)$; $y_Q = g(2{,}5) = 1{,}625 \Rightarrow Q(2{,}5|1{,}625)$

Beispiel 2: Schnittpunkte und Randextrema

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit den Gleichungen $f(x)=0{,}5x^2-4x+10$ und $g(x)=-1{,}5x^2+6x+2$.
Die Gerade $x=u$ ($0{,}5\leq u\leq 5$) schneidet den Graphen von $f$ im Punkt $P$ und den Graphen von $g$ im Punkt $Q$. Berechnen Sie die Koordinaten von $P$ und $Q$ so, dass die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ maximal ist. Bestimmen Sie auch die maximale Streckenlänge.

Graphen von f(x)=0,5x^2-4x+10 und g(x)=-1,5x^2+6x+2

Die Graphen schneiden sich in den Punkten $S_1(1|6{,}5)$ und $S_2(4|2)$. Auch hier gilt wieder, dass die Schnittpunkte üblicherweise in einer vorangehenden Teilaufgabe ermittelt werden sollen.
Das vorgegebene Intervall für $u$ geht über die Schnittstellen hinaus. Dennoch wird zunächst der Bereich zwischen den Schnittstellen untersucht. In diesem Bereich liegt der Graph von $g$ oberhalb des Graphen von $f$. Anschließend muss wegen der Vorgabe des Intervalls auf Randextrema untersucht werden.

Extremalbedingung / Hauptbedingung: $d=y_Q-y_P$ soll maximal werden
Nebenbedingungen: $y_P=f(u)$; $y_Q=g(u)$
Zielfunktion: $d(u)=-2u^2+10u-8$
Extremwertberechnung
$d'(u)=-4u+10$
$d''(u)=-4$
Notwendige Bedingung: $d'(u)=0 \Rightarrow u = 2{,}5$
Hinreichende Bedingung: $d''(2{,}5) = -4 < 0 \Rightarrow$ lokales (relatives) Maximum bei $u = 2{,}5$
$d(2{,}5) = 4{,}5 \text{ LE}$
Untersuchung auf Randextrema
Da an den Rändern $u_1 = 0{,}5$ und $u_2 = 5$ der Graph von $f$ oberhalb des Graphen von $g$ liegt, muss hier andersherum subtrahiert werden:
$d_2(u) = y_P - y_Q = 2u^2 - 10u + 8$
$d_2(0{,}5) = 3{,}5 < 4{,}5 \Rightarrow$ am linken Intervallrand ist der Abstand geringer als beim lokalen Maximum
$d_2(5) = 8 > 4{,}5 \Rightarrow$ am rechten Intervallrand ist der Abstand größer als beim lokalen Maximum $\Rightarrow$ bei $u = 5$ liegt ein globales (absolutes) Maximum vor.
Koordinaten der gesuchten Punkte:
$f(5) = 2{,}5 \Rightarrow P(5|2{,}5)$; $g(5) = -5{,}5 \Rightarrow Q(5|-5{,}5)$
Ergebnis
Für $u = 5$ ist die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ am größten. Die Punkte liegen bei $P(5|2{,}5)$ und $Q(5|-5{,}5)$. Die maximale Streckenlänge im gesuchten Intervall beträgt $\overline{PQ}_{\text{max}} = d_2(5) = 8 \text{ LE}$ (Längeneinheiten).

Weitere Varianten

Der Aufgabentyp kommt im Wesentlichen bei folgenden Aufgabenstellungen vor:

Oft ist die zweite Funktion $g$ die Ableitung von $f$: $g(x) = f'(x)$. Für die Lösung der Extremwertaufgabe macht das keinen Unterschied.
Als Anwendung ist nach dem maximalen Durchhang eines Seils gefragt: Das Seil selbst ist durch eine Funktion $f(x)$ mit Anfangs- und Endpunkt gegeben. Unter dem Durchhang versteht man die Abweichung von der geraden Verbindung von Anfangs- und Endpunkt zum Seil. Man muss dann üblicherweise die Geradengleichung $g(x)$ durch Anfangs- und Endpunkt aufstellen und wie in den Beispielen oben die maximale Entfernung berechnen.
Genauso verhält es sich natürlich, wenn die Gerade als Seilbahn und die gekrümmte Funktion als Bodenprofil einer Landschaft interpretiert wird. Gefragt ist dann nach der maximalen Höhe der Seilbahn über dem Boden.

Es ist extrem selten, dass es mehrere lokale Extrema gibt. In diesem Fall müsste man wie bei den Randextrema immer auf die richtige Reihenfolge beim Subtrahieren achten.
Es ist leider kein Ausweg, von Beginn an den Betrag zu nehmen, wie Sie es vielleicht von anderen Aufgabentypen kennen. Man handelt sich damit eine mindestens ebenso große, wenn nicht größere Schwierigkeit ein: bei der Ableitung von Betragsfunktionen muss man eine Fallunterscheidung machen. Es wird also eher unbequemer als angenehmer.

Teilen Info Bei den "Teilen"-Schaltflächen handelt es sich um rein statische Verlinkungen, d.h. sie senden von sich aus keinerlei Daten an die entsprechenden sozialen Netzwerke. Erst wenn Sie einen Link anklicken, öffnet sich die entsprechende Seite.

Minimale oder maximale Entfernung von Funktionsgraphen

Beispiel 1: Keine Schnittpunkte

Beispiel 2: Schnittpunkte und Randextrema

Weitere Varianten

Extremwertaufgaben: ganzrationale Funktionen

Beispiele, Erklärungen

Aufgaben