Eine Funktion und ihr Graph
Eine Funktion kann man veranschaulichen, indem man einige Funktionswerte berechnet und diese Werte in ein zweidimensionales Koordinatensystem einzeichnet. Für die Funktion $f(x)=x^2$ erhält man beispielsweise folgende Wertetabelle:
| $x$ | −2 | −1,5 | −1 | −0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 |
| $y=f(x)$ | 4 | 2,25 | 1 | 0,25 | 0 | 0,25 | 1 | 2,25 | 4 |
Jedes Paar $(x,y)$ wird als Punkt in ein Koordinatensystem eingetragen; diese Punkte werden dann zu einem Graphen verbunden. Wenn man einen Funktionstyp noch nie gesehen hat, weiß man natürlich zunächst nicht, in welcher Weise die Punkte zu verbinden sind – mit geraden Linien, leicht oder stark gekrümmt? Da hilft letztlich nur die Erfahrung, die man sich über sehr ausführliche Wertetabellen oder ein Computerprogramm verschaffen kann.
Der Graph der Funktion $f(x)=x^2$ ist eine Parabel und somit gekrümmt.
Der Graph (die graphische Darstellung) ist dabei nicht die Funktion selbst – so wie das Bild einer Pfeife eben nur das Bild einer Pfeife ist und nicht die Pfeife selbst. Aus diesem Grund finden Sie in Mathebüchern auch oft die Formulierung „der Graph der Funktion“ oder „ihr Graph sei $G_f$“. Im zweiten Fall bekommt der Graph einen Namen.
Die folgende Abbildung zeigt den Graphen von $f(x)=\frac 18 x^2+\frac{1}{x^2}$.
Es handelt sich nicht etwa um zwei Funktionen, wie manche Schüler zu Beginn vermuten, sondern es ist immer noch ein Graph und eine Funktion. Ein Graph muss also keineswegs zusammenhängend sein. Das merkwürdige Verhalten in der Nähe der $y$-Achse rührt daher, dass man die Zahl $x=0$ nicht in die Funktion einsetzen kann, weil man nicht durch Null dividieren kann. Man sagt: die Funktion ist an der Stelle $x=0$ nicht definiert.
Wann ist eine Kurve keine Funktion?
Die Gleichung $y=f(x)=\ldots$ ist auf jeden Fall eine Funktion, da sie nach $y$ aufgelöst ist. In der Schule wird sie auch fast immer so gegeben. Seltene Ausnahme: es ist die sogenannte Umkehrfunktion gesucht. Dann muss nach $y$ aufgelöst werden, und in bestimmten Fällen kann es zu Problemen kommen. Das ist an dieser Stelle zu speziell und soll daher hier nicht Thema sein.
An einer Zeichnung kann man jedoch sehr leicht erkennen, ob eine Kurve ein Funktionsgraph sein kann: zu jedem $x$-Wert darf ja nur ein Funktionswert $y$ gehören. Bei der folgenden ersten Kurve ist dies so. Bei der zweiten Kurve findet man jedoch zu $x=1$ zwei $y$-Werte (rot markiert), so dass diese Kurve nicht Graph einer Funktion sein kann.
Alle zu einem $x$-Wert gehörigen Punkte liegen auf einer zur $y$-Achse parallelen Gerade. Trifft nur irgendeine solche Gerade die Kurve in mehr als einem Punkt, kann diese Kurve nicht Graph einer Funktion sein. Wenn Sie in der Schule eine Kurve bekommen und entscheiden sollen, ob es sich um den Graphen einer Funktion handeln kann, müssen Sie untersuchen, ob all diese Geraden die Kurve in höchstens einem Punkt schneiden oder ob es mindestens eine Gerade gibt, die die Kurve in mehr als einem Punkt schneidet.
Weblinks
Unter funktion.onlinemathe.de können Sie Funktionsgraphen nicht nur zeichnen, sondern sich sogar die Ergebnisse der Kurvendiskussion anzeigen lassen. Der Dienst befindet sich zwar noch in der Versuchsphase, aber ich habe keine Fehler gefunden. Im Gegensatz zu vielen anderen Online-Funktionsplottern ist kein Java erforderlich.
Für den heimischen Rechner ist das kostenlose GeoGebra ein hervorragendes Programm nicht nur zum Zeichnen von Funktionsgraphen.
Letzte Aktualisierung: 02.12.2015; © Ina de Brabandt
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