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Mathematik in der Oberstufe

Punkte im räumlichen Koordinatensystem

Auf dieser Seite lernen Sie das meistverwendete dreidimensionale Koordinatensystem kennen, wie Sie Punkte in dieses eintragen und unter welchen Bedingungen es möglich ist, Koordinaten von Punkten aus einer Zeichnung abzulesen.

In der Mittelstufe haben Sie bereits gelernt, wie man einen Würfel der Kantenlänge Eins auf kariertes Papier zeichnet:

Würfel auf Karopapier

Die Vorderansicht entspricht den Originalmaßen (zwei Kästchen = 1 Zentimeter). Für die Seiten verwendet man eine Kästchendiagonale. Diese hat auf dem Papier die Länge $k=\sqrt{0{,}5^2+0{,}5^2}=\frac 12 \sqrt{2}\approx 0{,}707$ und wird damit leicht verkürzt dargestellt, wie es dem natürlichen Seheindruck entspricht. Die Zahl $k$ nennt man Verkürzungsfaktor.

Daraus leitet sich unser Standard-Koordinatensystem ab. Als Ursprung $O(0|0|0)$ verwendet man die Ecke hinten links unten. Die erste Achse zeigt schräg nach vorn und scheint damit aus dem Blatt Papier herauszuragen, die zweite Achse zeigt nach rechts und die dritte nach oben. Die erste Achse schließt auf dem Blatt Papier einen Winkel von 135° mit der zweiten Achse ein. In der dreidimensionalen Realität beträgt er 90°.

Je nach Schulbuch werden die Achsen mit $x,y,z$ oder $x_1, x_2, x_3$ benannt. Beide Varianten haben Vor-und Nachteile; ich verwende auf dieser Webseite üblicherweise $x,y,z$.

Koordinatensystem aus Würfel abgeleitet

Die negativen Achsen werden oft nicht eingezeichnet, da sie andernfalls von den eigentlichen Inhalten ablenken würden.
In der Realität (aber nicht auf unserem Blatt Papier) steht jede der drei Achsen senkrecht auf den beiden anderen (man sagt: sie stehen paarweise senkrecht), und alle Achsen sind gleich skaliert, d.h. auf jeder Achse hat die Einheit des Koordinatensystems die gleiche Länge. Ein solches Koordinatensystem nennt man kartesisch nach René Descartes bzw. Cartesius (der latinisierten Form seines Namens).
Gelegentlich sind Schüler irritiert, wenn sie aufgefordert werden, etwas in ein kartesisches Koordinatensystem einzutragen. Es ist einfach das „normale“ und üblicherweise das einzige Koordinatensystem, das sie in der Schule kennenlernen.

Die Darstellung nennt sich Schrägbild. Das Schrägbild lässt sich leicht auf das übliche Karopapier eintragen, führt allerdings zu leicht verzerrten Darstellungen. Es gibt auch naturgetreuere Darstellungen, die jedoch einen erhöhten Aufwand beim Zeichnen erfordern. Für die Zwecke der Schulgeometrie ist dieser erhöhte Aufwand nicht erforderlich, und man begnügt sich mit der bequemeren Darstellung.

Eintragen von Punkten

Überlegen wir kurz, wie wir im zweidimensionalen Koordinatensystem einen Punkt eintragen, zum Beispiel den Punkt $P(3|4)$: wir gehen vom Ursprung aus 3 Einheiten in Richtung der (positiven) $x$-Achse und anschließend 4 Einheiten in Richtung der (positiven) $y$-Achse. Ist eine Koordinate negativ wie bei $Q(-2|1)$, so gehen wir in die entgegengesetzte Richtung der entsprechenden Achse (hier 2 nach links).

Dieses Verfahren wenden wir im Raum auf unser dreidimensionales Koordinatensystem an. Für den Punkt $A(\color{#f00}{3}|\color{#2b2}{4}|\color{#b1f}{5})$ gehen wir somit drei Einheiten in Richtung der positiven $x$-Achse, also schräg nach vorn, dann vier nach rechts, schließlich fünf nach oben:

Punkt in ein dreidimensionales Koordinatensystem eintragen

Ist eine Koordinate negativ, so geht man jeweils in die andere Richtung. Für den Punkt $B(-2|-3|1)$ gehen wir somit zwei Schritte nach hinten, dann drei nach links und schließlich einen nach oben.

Punkte auch mit negativen Koordinaten

Fassen wir zusammen:

In unserem Standard-Koordinatensystem sind die Koordinaten für folgende Richtungen zuständig:

  • $x$: hinten – vorne (je weiter vorn, desto größer die Koordinate)
  • $y$: links – rechts (je weiter rechts, desto größer die Koordinate)
  • $z$: unten – oben (je weiter oben, desto größer die Koordinate)

Geht es auch in anderer Reihenfolge?

Grundsätzlich ja. Manchmal ist das sogar empfehlenswert, wenn beispielsweise eine Koordinate keine ganze Zahl ist. Für $P(-3|\frac 23|-1)$ geht man am besten erst drei Einheiten schräg nach hinten, dann eine nach unten und anschließend $\frac 23 \approx 0 {,}67$ Einheiten nach rechts.

Im Allgemeinen ist es jedoch günstiger, sich an die Standardreihenfolge zu halten, damit man nicht jedes Mal erneut überlegen muss, wie viele Schritte man in welche Richtung gehen muss. „Krumme“ Zahlen werden bei Zeichnungen nur äußerst selten vorkommen.

Punkte aus einer Zeichnung ermitteln

Wenn Sie die beiden vorhergehenden Zeichnungen vergleichen, scheint $C$ an derselben Stelle zu liegen wie $A$, obwohl das in der Realität nicht der Fall ist. Dies ist ein Problem, das wir nicht umgehen können: wenn wir einen dreidimensionalen Sachverhalt auf einem ebenen Blatt Papier darstellen, geht zwangsläufig Information verloren.[1]
Dies bedeutet umgekehrt, dass es grundsätzlich nicht möglich ist, ohne weitere Informationen Koordinaten von Punkten aus einer Zeichnung abzulesen.

Im Folgenden gibt es eine Zusatzinformation, die es ermöglicht, den Punkt abzulesen: vom Punkt ist jeweils eine Koordinate bekannt. Wir gehen zu dieser bekannten Koordinate auf der entsprechenden Achse und ziehen von dort aus Parallelen zu den anderen beiden Achsen, die mit dem zu ermittelnden Punkt ein Parallelogramm ergeben.

Betrachten wir den Punkt $Q(x|3|z)$. Wegen $y=3$ bewegen wir uns auf der $y$-Achse an die Stelle 3. Von dort laufen wir so viele Schritte parallel zur $x$-Achse, bis wir uns direkt „unter“ oder „über“ $Q$ befinden, in diesem Fall vier Schritte nach vorn. Damit ist $x=4$ (positiv, da wir nach vorn gelaufen sind). Da wir anschließend noch einen Schritt nach oben laufen müssen, um $Q$ zu erreichen, ist $z=1$, und der Punkt hat die Koordinaten $Q(4|3|1)$.

Koordinaten bei einer bekannten Koordinate ablesen

Natürlich können Sie die Reihenfolge auch vertauschen (gestrichelte Linien), solange Sie darauf achten, die Koordinaten an der richtigen Stelle zu notieren.

Wenn Sie entsprechend für $P$ vorgehen, erhalten Sie $P(1|-2|2)$.

[1] Das Problem kann man mit einer Dreitafelprojektion lösen, die jedoch nicht Thema der Vektorrechnung ist.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 30.09.2016;   © Ina de Brabandt

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