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Mathematik in der Oberstufe

Punkte auf den Koordinatenachsen und Koordinatenebenen

Auf dieser Seite lernen Sie die dreidimensionale Variante von Achsenschnittpunkten und eine spezielle räumliche Erweiterung kennen.

Punkte auf Koordinatenachsen

Zur Erinnerung die zweidimensionale Variante:

Koordinatenachsen Ebene

Für Punkte auf der $x$-Achse ist $y=0$, für Punkte auf der $y$-Achse entsprechend $x=0$.

Wir zeichnen nun im dreidimensionalen Raum den Punkt $B(0|5|0)$ ein. Dafür gehen wir null Einheiten (also keinen Schritt) in Richtung der $x$-Achse, dann 5 Einheiten in Richtung der $y$-Achse und schließlich wieder null Einheiten in Richtung der $z$-Achse. Insgesamt bewegen wir uns also ausschließlich auf der $y$-Achse.
Das gilt entsprechend für die Punkte $A(3|0|0)$ und $C(0|0|4)$

Punkte auf Koordinatenachsen im Raum

Wenn Sie nun umgekehrt die Information erhalten, dass ein Punkt auf der $z$-Achse liegt, so kennen Sie bereits zwei Koordinaten des Punktes, nämlich $x=0$ und $y=0$.

Ähnlich wie in der Ebene könnten Sie zum Beispiel folgende Information bekommen: Eine Gerade schneidet die $z$-Achse bei $-4$. Dies bedeutet, dass die Gerade durch den Punkt $P(0|0|-4)$ geht.

Punkte auf Koordinatenebenen

Wir schauen uns drei Punkte an, bei denen jeweils nur eine Koordinate Null ist. Für den Punkt $A(4|5|0)$ gehen wir zunächst 4 Einheiten in Richtung der positiven $x$-Achse, dann 5 in Richtung der positiven $y$-Achse. Da die $z$-Koordinate den Wert Null hat, bleiben wir wo wir sind. Man sagt in diesen Fall, der der Punkt $A$ auf der $xy$-Koordinatenebene oder kürzer auf der $xy$-Ebene liegt.

Punkte auf Koordinatenebenen im Raum

Entsprechend liegt $B(2|0|3)$ in der $xz$-Koordinatenebene und $C(0|4|2)$ in der $yz$-Koordinatenebene. Diese speziellen Ebenen werden also nach den Achsen benannt, von denen sie aufgespannt werden.

Von besonderer Bedeutung ist dabei die $xy$-Ebene. In Anwendungsaufgaben stellt sie oft die Erdoberfläche dar, und alles, was sich auf dem Boden abspielt, wird durch $z=0$ erfasst.
Entsprechend ist $x=0$ für Punkte auf der $yz$-Ebene und $y=0$ für Punkte auf der $xz$-Ebene.

Oktanten

Natürlich sind die Koordinatenebenen wie auch die Achsen unbegrenzt. Die folgende Abbildung zeigt zwar ebenfalls nur jeweils einen begrenzten Ausschnitt der Ebene, jedoch hier auch jeweils in den Bereich mit negativen Koordinaten fortgesetzt. Dadurch ergibt sich eine Einteilung des Raumes in insgesamt acht Bereiche.

Koordinatenebenen auch im negativen Bereich

Quadranten In der Ebene kennen Sie die Einteilung der vier Felder als Quadranten. Dabei wird das Feld, in dem beide Koordinaten positiv sind, als erster Quadrant bezeichnet; von dort aus zählt man wie in der Mathematik üblich gegen den Uhrzeigersinn weiter.

Im Raum gibt es prinzipiell auch die Einteilung in Oktanten (octe (lat) = 8). In der Schulmathematik wird dieser Begriff jedoch äußerst verwendet. Allenfalls spricht man einmal vom ersten Oktanten, in dem alle Koordinaten positiv sind.

Die weiteren Oktanten werden ähnlich wie in der Ebene bezeichnet: Die Felder oberhalb der $xy$-Ebene erhalten dieselben Namen wie die Quadranten in der Ebene, werden also entgegen dem Uhrzeigersinn nummeriert. Unterhalb der $xy$-Ebene zählt man weiter und startet dabei unter dem Oktanten mit der Nummer I.

Oktanten

Als Schüler müssen Sie sich das nicht merken, im Gegensatz zu den Quadranten in der Ebene, deren Kenntnis vorausgesetzt wird.

Letzte Aktualisierung: 30.09.2016;   © Ina de Brabandt

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