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Mathematik in der Oberstufe

Koordinaten von Punkten in Figuren ermitteln

Auf dieser Seite lernen Sie, wie Sie Koordinaten von Eckpunkten in Figuren ablesen, beispielsweise von Quadern und Pyramiden(stümpfen).

Achsenparallele Quader

Sie wissen bereits, dass sich Koordinaten nicht ohne weiteres ablesen lassen. In achsenparallelen Quadern (das sind solche, bei denen alle Kanten parallel zu den Koordinatenachsen liegen) genügen jedoch wenige Informationen, um sämtliche Punkte zu ermitteln.

Wir betrachten ein gängiges Beispiel:

Quader Beispiel

Prinzipiell würde es genügen, die Koordinaten zweier gegenüberliegender Punkte einer Raumdiagonalen anzugeben, wenn alle Kanten achsenparallel sind. Zur Erleichterung habe ich hier bereits drei Punkte $A$, $B$ und $G$ angegeben.

Wenn Sie $A$ mit $B$ vergleichen, stellen Sie fest, dass sich nur die zweite Koordinate verändert hat. Da es zu Beginn für manche Schüler nicht ganz einfach ist, schauen wir uns das ausführlich an:

  • Da $A$ und $B$ beide in der vorderen Seitenfläche liegen, haben sie dieselbe $x$-Koordinate.
  • Da $A$ und $B$ beide in der unteren Fläche liegen, haben sie dieselbe $z$-Koordinate.
  • Da $A$ in der linken, $B$ dagegen in der rechten Seitenfläche liegt, unterscheiden sie sich in der $y$-Koordinate.

Entsprechend gilt:

  • Alle Punkte auf der linken Seitenfläche $ADHE$ haben dieselbe $y$-Koordinate wie $A$, und alle Punkte auf der rechten Seitenfläche $BCGF$ haben dieselbe $y$-Koordinate wie $G$.
  • Alle Punkte auf der oberen Quaderfläche haben dieselbe $z$-Koordinate wie $G$, und alle Punkte auf der unteren Fläche haben dieselbe $z$-Koordinate wie $A$.
  • Alle Punkte auf der vorderen Fläche $ABFE$ haben dieselbe $x$-Koordinate wie $A$, und alle Punkte auf der hinteren Seitenfläche haben dieselbe $x$-Koordinate wie $G$.

Mit etwas Übung können Sie auch schneller argumentieren, dass die Kante $AB$ parallel zur $y$-Achse liegt und sich daher nur die $y$-Koordinate ändert.

Am einfachsten sind für die meisten Schüler die Punkte zu ermitteln, die direkt über oder unter bereits bekannten Punkte liegen, da sich in dem Fall nur die $z$-Koordinate ändert.
$E$ liegt direkt über $A$ und hat die gleiche Höhe wie $G$, und somit erhalten wir $E(4|-1|4)$. Entsprechend hat der Punkt $F$ direkt über $B$ die Koordinaten $F(4|5|4)$.
$C$ liegt direkt unter $G$ und hat somit die Koordinaten $C(-1|5|1)$.

Schauen wir uns nun den Punkt $D$ an: $H$ kennen wir nicht, aber wir wissen, dass $D$ „hinter“ $A$ liegt und sich somit die $x$-Koordinate verändert. Wie bei $G$ ist $x=-1$, so dass wir $D(-1|-1|1)$ erhalten. Da $H$ über $D$ liegt, folgt daraus wieder ganz einfach $H(-1|-1|4)$.

Außerdem können wir einfach die Längen der Seiten des Quaders ermitteln: es ist
$|\overline{AB}|=|y_B-y_A|=| 5-(-1)|=6$ LE (Längeneinheiten)
$|\overline{AD}|=|x_D-x_A|=|-1-4|=5$ LE und
$|\overline{AE}|=|z_E-z_A|=|4-1|=3$ LE.

Umgekehrt ist es entsprechend möglich, aus der Angabe eines Punktes, der prinzipiellen Lage des Quaders und der Seitenlängen die übrigen Koordinaten zu ermitteln.

Pyramidenstumpf

Für den Pyramidenstumpf in der folgenden Abbildung sind die Punkte $A(6|0|0)$, $B(6|6|0)$ und $F(5|5|3)$ gegeben.

Pyramidenstumpf Beispiel

Die Punkte $C(0|6|0)$ und $D(0|0|0)$ sollten Ihnen keine Probleme bereiten.

Auf der Dachfläche wird es etwas schwieriger. Die $z$-Koordinate beträgt für alle Punkte offensichtlich $z=3$. Vergleichen wir $F$ mit $B$, so stellen wir fest, dass $F$ „nach innen“ gerückt ist: sowohl die $x$- als auch die $y$-Koordinate sind jeweils um Eins vermindert.
Für $E$ bedeutet das im Vergleich zu $A$: Die $x$-Koordinate vermindert sich ebenfalls um Eins, da $E$ weiter hinten ist als $A$; die $y$-Koordinate dagegen erhöht sich um Eins, da $E$ weiter rechts liegt als $A$. Der Punkt $E$ hat somit die Koordinaten $E(5|1|3)$.

Entsprechende Überlegungen ergeben für die anderen Punkte die Koordinaten $G(1|5|3)$ und $H(1|1|3)$.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 30.09.2016;   © Ina de Brabandt

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