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Mathematik in der Oberstufe

Abstand zweier Punkte im Raum

Auf dieser Seite erinnern wir zunächst an den Abstand zweier Punkte in der Ebene und leiten die Formel für den Abstand im Raum her. So wie viele der neueren Schulbücher setze ich an dieser Stelle die Kenntnis von Vektoren noch nicht voraus.

Anschließend rechnen wir zwei Beispiele: Abstand zweier Punkte; eine Koordinate eines Punktes bei gegebenem Abstand gesucht.

Abstand zweier Punkte in der Ebene

In der Ebene ergänzen Sie die Strecke zwischen zwei Punkten mit achsenparallelen Linien zu einem rechtwinkligen Dreieck:

Den Abstand der beiden Punkte lässt sich dann mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen. Der Abstand wird üblicherweise mit $d(P,Q)$ bezeichnet ($d$ wie Distanz).

$d^2=(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2\\ d(P, Q)=\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2}$

Genau genommen müsste man hier mit Beträgen rechnen, da Seitenlängen eine Dreiecks nicht negativ sein können. Sollte eine Koordinatendifferenz negativ sein, so spielt das wegen des Quadrierens jedoch keine Rolle, und wir können auf die Betragsstriche verzichten. Streng mathematisch ausgedrückt:
$(|q_1-p_1|)^2=(q_1-p_1)^2$; entsprechend für den zweiten Ausdruck.

Herleitung der Formel im Raum

Gesucht ist der Abstand zweier Punkte $P(p_1|p_2|p_3)$ und $Q(q_1|q_2|q_3)$ im dreidimensionalen Raum. Zur Herleitung der Formel denken wir uns die Punkte als Eckpunkte eines achsenparallelen Quaders im kartesischen Koordinatensystem. Der Abstand der beiden Punkte entspricht dann der Länge der Raumdiagonale:

Abstand zweier Punkte im R^3

Die Kantenlängen des Quaders entsprechen jeweils dem Betrag der Koordinatendifferenzen. Da der Quader achsenparallel verläuft, stehen alle Kanten senkrecht aufeinander. Die Dreiecke $PAB$ und $PBQ$ sind daher rechtwinklig, so dass wir zur Berechnung der Flächendiagonale $e$ und der Raumdiagonale $d$ den Satz des Pythagoras verwenden können.

Wir möchten die Raumdiagonale berechnen, die die Hypotenuse im Dreieck $PBQ$ bildet:

$\color{#f00}{d}^2=\color{#f61}{e}^2+(\color{#1a1}{q_3-p_3})^2$

Die Flächendiagonale $e$ ist die Hypotenuse im Dreieck $PAB$:

$\color{#f61}{e}^2=(\color{#18f}{q_1-p_1})^2+(\color{#a61}{q_2-p_2})^2$

Wir setzen die zweite Gleichung in die erste ein:

$\color{#f00}{d}^2=(\color{#18f}{q_1-p_1})^2+(\color{#a61}{q_2-p_2})^2+(\color{#1a1}{q_3-p_3})^2 $

Ziehen wir nun noch die Wurzel, so erhalten wir die Formel:

Zwei Punkte $P(p_1|p_2|p_3)$ und $Q(q_1|q_2|q_3)$ im dreidimensionalen Raum $\mathbb R^3$ haben den Abstand

$$d(P,Q)=\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2} \text{ .}$$

Gelegentlich findet man in der Formel die Koordinaten vertauscht, also zum Beispiel $(p_1-q_1)^2$. Innerhalb der Klammern dreht sich dadurch jeweils das Vorzeichen um, und wegen $(-a)^2=a^2$ erhält man natürlich ebenfalls das richtige Ergebnis. Lerntechnisch halte ich dies für weniger geschickt: die Struktur „Ende minus Anfang“ kommt in der Schulmathematik so häufig vor, dass man nur mit gutem Grund von dieser Richtung abweichen sollte.

Beispiele

Beispiel 1: Gesucht ist der Abstand der Punkte $P(1|3|-2)$ und $Q(-4|2|5)$.

Lösung: Wir setzen in die Formel ein:

$\begin{align*} d(P,Q)&= \sqrt{(-4-1)^2+(2-3)^2+(5-(-2))^2} \\ &= \sqrt{(-5)^2+(-1)^2+7^2}=\sqrt{25+1+49}=\sqrt{75}\approx 8{,}66 \text{ LE} \end{align*}$

„LE“ steht für die hier unbekannte Längeneinheit, also zum Beispiel m, cm, km.

Was passiert, wenn man die Punkte vertauscht?

$\begin{align*} d(Q,P)&= \sqrt{(1-(-4))^2+(3-2)^2+(-2-5)^2} \\ &= \sqrt{5^2+1^2+(-7)^2}=\sqrt{25+1+49}=\sqrt{75}\approx 8{,}66 \text{ LE} \end{align*}$

Die Differenzen der Koordinaten ändern ihr Vorzeichen. Wegen des Quadrierens macht das keinen Unterschied: der Abstand der Punkte ist natürlich gleich.

Beispiel 2: Die Punkte $P(-2|3|0)$ und $Q(1|u|3)$ sollen den Abstand 5,5 haben. Wie muss $u$ gewählt werden?

Lösung: Der Abstand enthält eine Unbekannte:

$\begin{align*} d(P,Q)&= \sqrt{(1-(-2))^2+(u-3)^2+(3-0)^2}\\ & =\sqrt{9+(u-3)^2+9} \end{align*}$

Mit der Forderung $d(P,Q)=5{,}5$ erhalten wir eine Gleichung. Wenn man die binomische Formel auflöst, lässt sich die Gleichung mithilfe der $pq$-Formel lösen. Es geht aber auch direkt:

$\begin{align*} \sqrt{9+(u-3)^2+9} &=5{,}5 & & |(\ldots)^2\\ 9+(u-3)^2+9 &=30{,}25 & & |-9-9\\ (u-3)^2 &=12{,}25 & & |\sqrt{\phantom{9}}\\ u-3 &=3{,}5 & & \text{ oder} &u-3&=-3{,}5 & |+3\\ u_1 &=6{,}5 & & &u_2&=-0{,}5\\ \end{align*}$

Die Punkte $Q_1(1|6{,}5|3)$ und $Q_2(1|-0{,}5|3)$ erfüllen somit die Bedingung.

Die folgende Skizze stellt die Situation graphisch dar. Die Punkte $Q_1$ und $Q_2$ liegen in zwei nebeneinanderliegenden, gleich großen Quadern und $P$ in der gemeinsamen Seitenfläche der Quader. Auch wenn es in der Zeichnung zunächst so scheint, als seien die Abstände verschieden, so verdeutlicht die Darstellung als Raumdiagonale in den Quadern doch, dass in der Realität beide Längen $d(P,Q_1)$ und $d(P,Q_2)$ übereinstimmen.

Darstellung der gesuchten Punkte in nebeneinanderliegenden Quadern

Auch die Fragestellung „Welcher Punkt auf der $x$-Achse hat von … den Abstand …“ beruht auf dem gleichen Muster, da zwei Koordinaten bekannt sind ($y=0,z=0$).

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 30.09.2016;   © Ina de Brabandt

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