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Mathematik in der Oberstufe

Lösungen zum Abstand zweier Punkte im Raum (ohne Vektoren)

Da ich einige Beispiele im Artikel Abstand zweier Punkte im Raum ausführlich vorgerechnet habe, finden Sie hier zu den Standardrechnungen nur einige Zwischenschritte angegeben, aber nicht die vollständige Rechnung.

  1. Dreieck
    1. Schrägbild rechts
    2. Seitenlängen und Umfang:
      $\begin{align*} d(A,B)&=\sqrt{(1-(-3))^2+(2-0)^2+(2-(-2))^2}=6 \text{ LE}\\ d(A,C)&=\sqrt{(-3-(-3))^2+(3-0)^2+(2-(-2))^2}=5 \text{ LE}\\ d(B,C)&=\sqrt{(-3-1)^2+(3-2)^2+(2-2)^2}=\sqrt{17}\approx 4{,}12 \text{ LE}\\ u&=6+5+\sqrt{17}\approx 15{,}12 \text{ LE} \end{align*}$
    3. Satz des Pythagoras: Ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn $a^2+b^2=c^2$ gilt, wobei $c$ die längste Seite ist.
      Längste Seite: $c^2=|AB|^2=6^2=36$
      Kürzere Seiten: $a^2+b^2=|AC|^2+|BC|^2=25+17=42\not= 36$
      Wegen $a^2+b^2\not=c^2$ ist das Dreieck nicht rechtwinklig.
  2. Kameradrohne
    1. Die Drohne befand sich im Sinkflug, da sich die Höhe (die dritte Koordinate) vermindert hat.
    2. Zurückgelegter Weg in 3 Sekunden:
      $d(P,Q)=\sqrt{(440-400)^2+(209-200)^2+(48-50)^2}=\sqrt{1685}\approx 41{,}05 \text{ m}$
      Zurückgelegter Weg in 1 Sekunde:
      $s=\dfrac{\sqrt{1685}}{3}\approx 13{,}68 \text{ m}$
      Die Drohne war mit einer Geschwindigkeit von etwa 13,7 m/s unterwegs.
  3. Ansatz:$\sqrt{(u-(-2))^2+(5-(-4))^2+(3-1)^2}=11$
    Je nach Lösungsweg sollten Sie auf den Zwischenschritt $(u+2)^2=36$ oder $u^2+4u-32=0$ kommen.
    Punkte: $B_1(4|5|3), B_2(-8|5|3)$
  4. Der Knickpunkt $C$ hat die Koordinaten $C(0|0|h)$. Der herabgestürzte Anteil hat die Länge $13-h$. Daraus ergibt sich die Forderung
    $\begin{align*} d(C,B)&=13-h\\ \sqrt{(6-0)^2+(9-0)^2+(0-h)^2}&=13-h\\ \sqrt{36+81+h^2}&=13-h &&|\,(\ldots )^2\\ 117+h^2&=169-26h+h^2 &&|-h^2-169\\ -52&=-26h &&|:(-26)\\2&=h\end{align*}$
    Der Mast ist in einer Höhe von $h=2 \text{ m}$ abgeknickt.
    Alternativ können Sie auch den Abstand $d(A,B)$ berechnen und dann mit dem Satz des Pythagoras arbeiten.

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Letzte Aktualisierung: 30.09.2016;   © Ina de Brabandt

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