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Mathematik in der Oberstufe

Abstand Punkt/Gerade: Aufgaben zum Lotfußpunktverfahren

Als Lotfußpunktverfahren kann sowohl die Methode mit der Hilfsebene als auch die mit dem laufenden Punkt (Orthogonalitätsbedingung) verwendet werden.

  1. Berechnen Sie den Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $g$.
    1. $g:\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix};\; P(3|5|8)$
    2. $g:\vec x=\begin{pmatrix}4\\-4\\4\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}-8\\4\\1\end{pmatrix};\; P(−8|11|10)$
  2. Ein Flugzeug wird erst am Ort $P(5|4|3)$ und kurze Zeit später am Ort $Q(2|8|3)$ gesichtet. Im Punkt $R(8|100|1)$ befindet sich eine Radarstation mit einer Reichweite von 75 km. Wird das Flugzeug vom Radar erfasst, wenn es geradlinig weiterfliegt?
  3. Zeigen Sie, dass die Geraden $g\colon\, \vec x= \begin{pmatrix}5\\2\\-2\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}6\\2\\6\end{pmatrix}$ und $h\colon\,\vec x = \begin{pmatrix}-4\\0\\-5\end{pmatrix}+t\,\begin{pmatrix}-9\\-3\\-9\end{pmatrix}$ parallel sind, und berechnen Sie ihren Abstand.
  4. Ein etwas in die Jahre gekommener Balken mit den Endpunkten $A(6|3|4)$ und $B(8|1|6)$ soll durch einen weiteren Balken unterstützt werden. Der neue Balken soll vom Punkt $(6|−1|4)$ aus senkrecht zum alten Balken angebracht werden. An welcher Stelle treffen die Balken zusammen, und wie lang muss der neue Balken sein?
  5. Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten $A(-3|0|2)$, $B(3|6|-1)$ und $C(3|9|14)$.
    1. Bestimmen Sie eine Gleichung der Trägergeraden der Höhe $h_c$.
      Hinweis: eine Trägergerade ist die (unbegrenzte) Gerade, auf der die (begrenzte) Strecke liegt.
    2. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mithilfe Ihres Ergebnisses aus a).

Lösungen

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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