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Mathematik in der Oberstufe

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Aufgaben zum Abstand Punkt-Ebene (Formel)

Die Aufgaben gehören zum Artikel Abstand Punkt-Ebene: Formel.

  1. Berechnen Sie jeweils den Abstand des Punktes zur Ebene. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis aus b.
    1. $P(3|-1|2);\quad E\colon \left[\vec x-\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}1\\5\\-2\end{pmatrix}=0 $
    2. $P(12|4|-2);\quad E\colon \left[\vec x-\begin{pmatrix}-3\\-2\\1\end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix}=0$
    3. $P(-4|4|2); \quad E\colon 8x+15z=-16$
    4. $P(4|7|-11);\quad E\colon \vec x=\begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix}$
  2. In der Ebene $E\colon 2x-2y+z=1$ liegt ein Drachenviereck mit den Eckpunkten $A(0|-1|-1)$, $B(-1|0|3)$, $C(3|5|5)$ und $D(3|2|-1)$ (Nachweis nicht erforderlich).
    1. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Drachenvierecks.
    2. Das Drachenviereck wird durch $S(8|-3|0)$ zu einer Pyramide ergänzt. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
  3. Zeigen Sie, dass die Gerade $g\colon \vec x=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$ parallel zur Ebene $E\colon 6x+7y-6z=6$ verläuft, und berechnen Sie den Abstand von $g$ zu $E$.
  4. Zeigen Sie, dass die Ebenen $E\colon \left[\vec x-\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix}2\\ -2\\3\end{pmatrix}=0$ und $F\colon -4x+4y-6z=0$ parallel verlaufen, und berechnen Sie ihren Abstand.
  5. Welche Punkte der Geraden $g\colon \vec x=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix}3\\1\\1 \end{pmatrix}$ haben von der Ebene $E\colon \left[\vec x- \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}4\\-4\\7\end{pmatrix}=0$ den Abstand $d=5\,$?
  6. Welche Ebenen der Schar $E_t\colon 3x+4y+t\,z=8$ haben vom Punkt $P(1|0|-2)$ den Abstand $d=1\,$?

Lösungen

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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Abstandsberechnungen im R3

Beispiele, Erklärungen

Aufgaben

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