Die Formel für den Abstand windschiefer Geraden liefert nur die minimale Entfernung, gibt aber keine Auskunft darüber, in welchen Punkten der Geraden der Abstand angenommen wird. Die Fußpunkte erhält man mit einem Lotfußpunktverfahren.
Auf dieser Seite arbeiten wir mit der Methode der Hilfsebene. Das Verfahren mit laufenden Punkten finden Sie hier.
Gegeben seien zwei windschiefe Geraden $g\colon \vec x=\vec p+r\,\vec u$ und $h\colon \vec x=\vec q+s\,\vec v$. Die Punkte $F_g$ und $F_h$ seien die Fußpunkte des gemeinsamen Lotes. Die hellgrauen Hilfsebenen sollen nur das räumliche Vorstellungsvermögen unterstützen und haben für die Rechnung keine Bedeutung.
Die Hilfsebene $E_g$ wird so gewählt, dass sie die Gerade $g$ enthält und der zweite Spannvektor (Richtungsvektor) $\vec n$ auf den Richtungsvektoren beider Geraden senkrecht steht.
Aufgabe: Gegeben sind die windschiefen Geraden $g\colon \vec x=\begin{pmatrix}-7\\2\\-3\end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$ und $h\colon \vec x=\begin{pmatrix}-3\\-3\\3\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$. Gesucht sind der Abstand der Geraden und die Fußpunkte des gemeinsamen Lotes.
Lösung:
Schritt 1: Wir bestimmen einen Normalenvektor. Ich verwende das Kreuzprodukt, da es mittlerweile recht weit verbreitet ist. Sie können natürlich auch mithilfe der Skalarprodukte ein Gleichungssystem aufstellen.
$\vec u\times \vec v = \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1-4\\2-0\\0-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\2\\-1\end{pmatrix}\quad \text{wähle }\vec n=-\, \vec u\times \vec v=\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}$
Das Ergebnis des Vektorprodukts kann natürlich auch ohne Änderung verwendet werden. Ich bevorzuge einen Vektor mit möglichst wenigen Minuszeichen.
Mit diesem Vektor erstellen wir die Hilfsebene. Aufgrund der gewählten Konstruktion ist es sinnvoll, die Parameterform beizubehalten und die Ebene nicht in die Koordinatenform oder Normalenform umzuwandeln.
Hilfsebene $E_g\colon \vec x=\begin{pmatrix}-7\\2\\-3\end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+t\,\begin{pmatrix}3\\-2\\1 \end{pmatrix}$
Schritt 2: Den Schnittpunkt berechnen wir, indem wir die Ebenengleichung mit der Gleichung von $h$ gleichsetzen:
$\begin{pmatrix}-7\\2\\-3\end{pmatrix}+r\,\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+t\,\begin{pmatrix}3\\-2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\-3\\3\end{pmatrix}+s\,\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$
Wir sortieren und stellen dabei das Gleichungssystem auf. Hier wird es von Hand gelöst; einfacher ist es natürlich, wenn Sie es mit dem Taschenrechner lösen dürfen.
$\begin{alignat*}{5} & \text{I} & && \, 3t && \, - \, s &\,= 4 &&\hspace{2em} |\to \text{II}_a\\ & \text{II} & r \, && - \, 2t && \, - \, 2s &\,= -5 &&\hspace{2em} |\to \text{I}_a\\ & \text{III} &\hspace{2em} 2r \, && + \, t && \, - \, s &\,= 6 &&\hspace{2em} |\text{ III}-2\cdot \text{II}\\ \text{}\\ & \text{I}_a & r \, && - \, 2t && \, - \, 2s&\,=-5\\ & \text{II}_a & && \, 3t && \, - \, s &\,=4\\ & \text{III}_a & && \, 5t && \, + \, 3s &\,= 16 &&\hspace{2em} |\text{ III}_a+3\cdot\text{II}_a\\ \text{}\\ & \text{I}_a & r \, && - \, 2t && \, - \, 2s &\,= -5 \\ & \text{II}_a & && \, 3t && \, - \, s &\,= 4 \\ & \text{III}_b & && \, 14t && &\,= 28 &&\hspace{2em} |:14\\ & & && \, t && &\,= 2\\ \text{}\\ & t \text{ in II}_a & \, && \, 6 && \,- \, s&\,= 4 &&\hspace{2em} |-6\\ & & && && \,- \, s&\,= -2 &&\hspace{2em} |:(-1)\\ & & && && s&\,= 2\\ \text{} \\ & s,t \text{ in I}_a & r\, && -\, 4 && \,- \, 4&\,= -5 &&\hspace{2em} |+8\\ & & r\, && && &\,= 3\\ \end{alignat*}$
Zur Berechnung der Koordinaten des Fußpunktes $F_h$ setzen wir $s=2$ in die zugehörige Geradengleichung ein:
$\overrightarrow{f_h}=\begin{pmatrix}-3\\-3\\3\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\1\\5\end{pmatrix}\quad F_h(-1|1|5)$
Bevor wir fortfahren, schauen wir uns unsere Ergebnisse in der Grafik an. Achten Sie dabei auf die Vielfachen der Richtungs- bzw. Spannvektoren:
Wenn wir $E_g$ in Koordinatenform verwandelt hätten, hätten wir jetzt nur die Koordinaten von $F_h$ und müssten eine weitere Rechnung anschließen, um auch den zweiten Fußpunkt zu bestimmen. Aufgrund der Wahl der Spannvektoren der Ebene haben wir jedoch indirekt auch den Fußpunkt $F_g$ ermittelt: wir müssen nur noch $r=3$ in die zugehörige Geradengleichung einsetzen.
$\overrightarrow{f_g}=\begin{pmatrix}-7\\2\\-3\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7\\5\\3\end{pmatrix}\quad F_g(-7|5|3)$
Schritt 3: Für den Abstand berechnen wir zunächst den Verbindungsvektor und anschließend dessen Länge:
$\overrightarrow{F_gF_h}=\overrightarrow{f_h}-\overrightarrow{f_g}=\begin{pmatrix}-1\\1\\5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-7\\5\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\-4\\2\end{pmatrix}$
$d(g,h)=\left|\overrightarrow{F_gF_h}\right|=\sqrt{6^2+(-4)^2+2^2}=\sqrt{56}\approx 7{,}48\text{ LE}$
Alternativ können Sie den Verbindungsvektor auch über die Beziehung $\overrightarrow{F_gF_h}=t\cdot \vec n=2\cdot \begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\-4\\2\end{pmatrix}$ ermitteln.
Ergebnis: Die kürzeste Verbindung zwischen den Geraden besteht für die Punkte $F_g(-7|5|3)$ auf $g$ und $F_h(-1|1|5)$ auf $h$. Für diese Punkte beträgt die Entfernung etwa 7,48 Längeneinheiten.
Letzte Aktualisierung: 02.12.2015; © Ina de Brabandt
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