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Mathematik in der Oberstufe

Lösungen zu den Aufgaben zum Abstand zweier Punkte im Raum

Da ich einige Beispiele im Artikel Abstand zweier Punkte im R3 ausführlich vorgerechnet habe, finden Sie hier zu den Standardrechnungen nur einige Zwischenschritte angegeben, aber nicht die vollständige Rechnung.

  1. Seitenlängen und Umfang:
    $\begin{align*} |\overrightarrow{AB}|&=\sqrt{6^2+7^2+(-6)^2}=11 \text{ LE}\\ |\overrightarrow{AC}|&=\sqrt{(-2)^2+1^2+2^2}=3 \text{ LE}\\ |\overrightarrow{AB}|&=\sqrt{(-8)^2+(-6)^2+8^2}=\sqrt{164}\approx 12{,}81 \text{ LE}\\ u&=11+3+\sqrt{164}\approx 26{,}81 \text{ LE} \end{align*}$
  2. Zurückgelegter Weg in 2 Minuten:
    $|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{3^2+(-1)^2+(-0{,}1)^2}=\sqrt{10{,}01}\approx 3{,}16 \text{ km}$
    Zurückgelegter Weg in 1 Stunde = 60 Minuten = $30\cdot 2$ Minuten:
    $s=30\cdot \sqrt{10{,}01}\approx 94{,}92 \text{ km}$
    Das Segelflugzeug war mit einer Geschwindigkeit von etwa 95 km/h unterwegs.
  3. Anlehngewächshaus
    1. $A(0|0|0), B(1|0|0), C(1|2|0), D(0|2|0),$
      $E(0|0|2), F(1|0|1{,}5), G(1|2|1{,}5), H(0|2|2)$
    2. Die Länge achsenparalleler Kanten kann abgelesen werden. Nur die Länge der schiefen Kante muss berechnet werden:
      $|\overrightarrow{FE}|=\sqrt{(-1)^2+0^2+0{,}5^2}=\sqrt{1{,}25}\approx 1{,}12 \text{ m}$
      Bei den Seitenflächen handelt es sich um Trapeze:
      $A_{ABFE}=A_{DCGH}=\frac 12 \cdot (1{,}5+2)\cdot 1=1{,}75 \text{ m}^2$
      Front (Rechteck): $A_{BCGF}=2\cdot 1{,}5=3 \text{ m}^2$
      Dach (Rechteck): $A_{EFGH}=2\cdot \sqrt{1{,}25}\approx 2{,}24 \text{ m}^2$
      Die Rückwand wird nicht verglast, da das Gewächshaus an die Mauer des Hauses angelehnt wird.
      Gesamtfläche: $A_{ges}=2\cdot A_{ABFE}+A_{BCGF}+A_{EFGH} \approx 8{,}74 \text{ m}^2$
      Die zu verglasende Fläche hat einen Inhalt von etwa $8{,}74 \text{ m}^2$.
  4. Ansatz:$\sqrt{8^2+(-5)^2+(w+2)^2}=3\sqrt{10}$
    Je nach Lösungsweg sollten Sie auf den Zwischenschritt $(w+2)^2=1$ oder $w^2+4w+3=0$ kommen.
    Punkte: $B_1(5|-3|-1), B_2(5|-3|-3)$
  5. Punkt auf $z$-Achse: $P(0|0|z)$
    $\begin{align*} |\overrightarrow{AP}|&=|\overrightarrow{BP}|\\ \sqrt{(-1)^2+4^2+(z-5)^2}&=\sqrt{(-6)^2+(-6)^2+z^2}\\ &\vdots\\ z^2-10z+42&=z^2+72\\ &\vdots\\ z&=-3 \end{align*}$
    Der gesuchte Punkt liegt bei $P(0|0|-3)$. Entfernung:
    $|\overrightarrow{AP}|=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-8)^2}=9 \text{ LE}$
  6. allgemeiner Punkt auf der Geraden $Q(-6+2r|6|9-r)$
    $\begin{align*} |\overrightarrow{PQ}|&=15\\ \sqrt{(2r)^2+5^2+(15-r)^2}&=15\\ &\vdots\\ 5r^2-30r+250&=225\\ &\vdots\\ r_1&=5\\ r_2&=1\\ \end{align*}$
    $Q_1(4|6|4), Q_2(-4|6|8)$

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Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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