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Mathematik in der Oberstufe

Rekonstruktion / Steckbriefaufgaben: Übersetzungshilfe

Die Bestimmung ganzrationaler Funktionen ist meistens als Rekonstruktion oder Steckbriefaufgaben bekannt; eher seltener sind die Bezeichnungen Parameteraufgaben oder Umkehraufgaben. Die Bestimmung von Funktionsgleichungen, wenn alle Nullstellen und ein weiterer Punkt bekannt sind, wird üblicherweise als eigenständiges Thema behandelt, da in diesem Fall ein anderer Ansatz sinnvoller ist.

Die im Folgenden aufgeführten Bedingungen gelten für jede Art von Funktionen, nicht nur für ganzrationale. Der Ansatz ist natürlich auf ganzrationale Funktionen beschränkt.

Ansatz

Eine Funktion 3. Grades: $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
Eine Funktion 4. Grades: $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$

Eine eventuelle Symmetrie berücksichtigt man gleich im Ansatz, also zum Beispiel:
Punktsymmetrie, Grad 3: $f(x)=ax^3+cx$
Achsensymmetrie, Grad 4: $f(x)=ax^4+cx^2+e$

Die häufigsten Bedingungen

Der Graph der Funktion … Bedingung(en)
… geht durch den Punkt $P(2|7)$$f(2)=7$
… schneidet die $y$-Achse bei 5$f(0)=5$
… schneidet die $x$-Achse bei 3$f(3)=0$
… geht durch den Ursprung$f(0)=0$
… hat an der Stelle $x=4$ einen Extrempunkt$f'(4)=0$
… hat einen Extrempunkt auf der $y$-Achse$f'(0)=0$
… hat im Punkt $T(1|3)$ einen Tiefpunkt (Hochpunkt) $f(1)=3$
$f'(1)=0$
berührt die x-Achse an der Stelle $x=2$$f(2)=0$
$f'(2)=0$
… hat an der Stelle $x=1$ einen Wendepunkt$f''(1)=0$
… hat einen Wendepunkt auf der $y$-Achse$f''(0)=0$
… hat im Punkt $P(2|4)$ einen Sattelpunkt$f(2)=4$
$f'(2)=0$
$f''(2)=0$
… hat an der Stelle $x=3$ eine Tangente mit der Steigung 8$f'(3)=8$
… hat an der Stelle $x=4$ eine waagerechte Tangente$f'(4)=0$
… hat bei $x=2$ eine Wendestelle, ihre Wendetangente hat die Steigung 4$f''(2)=0$
$f'(2)=4$

Seltenere Bedingungen

Der Graph der Funktion … Bedingung(en)
… hat an der Stelle $x=2$ eine zu der Geraden $y=-3x+7$ parallele Tangente$f'(2)=-3$
… hat an der Stelle $x=2$ eine Tangente mit der Gleichung $y=-3x+7$$f'(2)=-3$
$f(2)=-3\cdot 2+7=1$
… hat an den Stellen $x_1=1$ und $x_2=3$ parallele Tangenten$f'(1)=f'(3)$
berührt eine weitere Funktion $g(x)$ (gegeben) an der Stelle $x=1$$f(1)=g(1)$
$f'(1)=g'(1)$
Die Tangente an den Punkt $P(2|3)$ schneidet die $x$-Achse an der Stelle $-1$ (also im Punkt $Q(-1|0))$$f(2)=3$
$f'(2)=\frac{0-3}{-1-2}=1$

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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