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Mathematik in der Oberstufe

Parabelgleichung aus Punkt und Scheitelpunkt bestimmen

Oft ist von einer Parabel neben dem Scheitelpunkt ein weiterer Punkt bekannt, und es soll die Gleichung der zugehörigen Funktion bestimmt werden. Dies kann auch indirekt in einer Anwendungsaufgabe oder einer Zeichnung geschehen. Diese Fälle gehen wir in Beispielen durch.

Wie Sie die Gleichung aufstellen, wenn neben dem Scheitel der Streckfaktor gegeben ist, habe ich im entsprechenden Grundlagenartikel zur allgemeinen Parabel beschrieben.

Punkte direkt gegeben

Dies ist der einfachste Fall, auf dem die weiteren Fälle aufbauen.

Beispiel 1: Eine Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(\color{#f00}{2}|\color{#1a1}{4})$ geht durch den Punkt $P(5|-5)$. Wie heißt ihre Gleichung?

Lösung: Da der Scheitelpunkt bekannt ist, verwenden wir zum Aufstellen der Gleichung die Scheitelform:

$f(x)=a(x-x_s)^2+y_s$.

Der Streckfaktor $a$ ist zunächst unbekannt, während wir die Koordinaten des Scheitels einsetzen können:

$f(x)=a(x-\color{#f00}{2})^2+\color{#1a1}{4}$

Da der Punkt $P(\color{#a61}{5}|\color{#18f}{-5})$ auf der Parabel liegt, müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen. Durch Einsetzen können wir also $a$ berechnen:

$\begin{align*}\color{#18f}{-5}&=a\cdot (\color{#a61}{5}-2)^2+4\\-5&=a\cdot (3)^2+4\\-5&=9a+4&&|-4\\-9&=9a&&|:9\\-1&=a\\f(x)&=-(x-2)^2+4\end{align*}$

Da $a$ ein Faktor ist, kann man die Zahl „1“ in der Funktionsgleichung unterdrücken.

Wenn man die Funktionsgleichung in der allgemeinen Form angeben soll, löst man anschließend die Klammer auf:

$\begin{align*}f(x)&=-(x-2)^2+4\\&=-(x^2-4x+4)+4\\&=-x^2+4x-4+4\\f(x)&=-x^2+4x\end{align*}$

Die benötigten Punkte können auch indirekt in Worten gegeben sein. Mit $S$ für den Scheitelpunkt und $P$ für den anderen Punkt sind folgende Informationen so zu übersetzen:

TextÜbersetzung
Eine Parabel hat den Scheitel im Ursprung.$S(0|0)$
Die Parabel geht durch den Ursprung.Da nicht die Rede vom Scheitel ist, haben wir den Punkt $P(0|0)$.
Die Parabel hat eine Nullstelle bei $x=-3$.Für eine Nullstelle ist $y=0$, sodass wir den Punkt $P(-3|0)$ haben.
Die Parabel schneidet die $y$-Achse bei 4.Nun ist umgekehrt $x=0$, was den Punkt $P(0|4)$ ergibt.
Die Parabel hat mit der $x$-Achse nur den Punkt $(2|0)$ gemeinsam.Eine Parabel schneidet die $x$-Achse nur dann an einer einzigen Stelle, wenn ihr Scheitel auf der $x$-Achse liegt: $S(2|0)$.
Die Parabel berührt die $x$-Achse an der Stelle $x=-3$.Auch diese Formulierung bedeutet, dass der Scheitel auf der $x$-Achse liegt, also in diesem Fall die Koordinaten $S(-3|0)$ hat.

Angaben in einer Zeichnung gegeben

Gesucht sind die Gleichungen der folgenden Parabeln:

Zwei Parabeln im Koordinatensystem

Die Scheitelpunkte sind gut zu erkennen, sodass wir wieder mit der Scheitelform arbeiten können. Als weiteren Punkt verwenden wir nach Möglichkeit einen Punkt der Parabel, der eine Einheit rechts oder links vom Scheitel liegt. Dafür haben wir hier gesehen, dass die Anzahl der Einheiten, die wir in Richtung der y-Achse gehen müssen, gleich dem Streckfaktor $a$ ist. In diesem Fall müssen wir also gar nicht mehr rechnen, sondern können die Gleichung sofort notieren. (Wenn Ihr Lehrer diese Möglichkeit nicht zulässt, sondern die Rechnung wie oben präsentiert haben möchte, ist es wegen der einfachen Rechnung vorteilhaft, auch dann diesen Punkt zu verwenden.)

Für die linke Parabel ist dies möglich: $a=-2$. Bei der rechten Parabel ist die $y$-Koordinate des entsprechenden Punktes nicht abzulesen, sodass ich einen anderen Punkt markiert habe. Auch der Punkt $P(7|1)$ wäre eine gute Wahl.

Parabel 1 mit S_1(-3|1) und P_1(-2|-1); Parabel 2 mit S_2(4|-2) und P_2(1|1)

Die Gleichung der linken Parabel können wir mit $S_1(-3|1)$ also direkt notieren:

$f_1(x)=-2(x+3)^2+1$

Für die rechte Parabel setzen wir $S_2(4|-2)$ und den Punkt $P_2(1|1)$ wie oben ein und gehen beim Umformen etwas ökonomischer vor: wir rechnen $(1-4)^2=(-3)^2=9$ und addieren nebenbei 2, da die Rechnungen wegen „Punkt vor Strich“ unabhängig voneinander sind. Wenn Sie unsicher sind, bleiben Sie bei der ausführlichen Form.

$\begin{align*}1&=a\cdot (1-4)^2-2&&|+2\\3&=9a&&|:9\\ \tfrac 13&=a\\ f_2(x)&=\tfrac 13(x-4)^2-2\end{align*}$

Angaben in einer Anwendungsaufgabe gegeben

Beispiel 3: Eine am Mittelalter interessierte Gruppe hat ein kleines Katapult nachgebaut und möchte nun die parabelförmige Flugbahn eines Steins ermitteln, der mit diesem Gerät abgeworfen wird. Dafür stellt sie das Gerät so auf einem Burgturm auf, dass der Stein aus einer Höhe von 20 m startet. In einer Entfernung von 20 m (horizontal gemessen) vom Turm erreicht der Stein seine maximale Flughöhe von 32 m über dem Erdboden. Wie lautet die Gleichung der Flugbahn?

Lösung: Das Schlüsselwort maximal weist auf den Scheitel der Wurfparabel hin. Am sinnvollsten ist es, die Abwurfstelle auf $x=0$ festzulegen. Wird der Erdboden auf $y=0$ gesetzt, liegt also der Abwurfpunkt bei $P(0|20)$ und der Scheitel bei $S(20|32)$.

Wurf vom Burgturm mit S(20|32) und P(0|20)

Wir rechnen wie gewohnt:

$\begin{align*}20&=a\cdot (0-20)^2+32&&|-32\\-12&=400a&&|:400\\-0{,}03&=a\\f(x)&=-0{,}03(x-20)^2+32\end{align*}$

Mithilfe der Funktionsgleichung könnte man beispielsweise den Aufschlagpunkt des Steins berechnen, indem man die Nullstellen ermittelt.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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