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Mathematik in der Oberstufe

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Steigungswinkel einer Geraden

Definition

In Mathematikbüchern findet man in etwa die folgende Definition:

Der Steigungswinkel einer Geraden ist derjenige im mathematisch positiven Sinn gemessene Winkel $\alpha$, den die Gerade mit der positiven $x$-Achse einschließt.

Die Formulierung im mathematisch positiven Sinn bedeutet dabei gegen den Uhrzeigersinn. Und so sieht es aus (Sie können den Winkel verändern, indem Sie am roten Punkt ziehen):

Berechnung des Steigungswinkels

Wie am eingezeichneten Steigungsdreieck schon zu sehen ist, hängt der Winkel von der Steigung ab. In diesem rechtwinkligen Dreieck kennen wir zwei Katheten, und somit kommt der Tangens zum Einsatz. Sofern die Gerade keine Senkrechte ist (dann ist $m$ nicht definiert), gilt nämlich

$\tan(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\dfrac{m}{1}=m$.

Der Tangens des Steigungswinkels einer Geraden ist für $\alpha \not= 90^{\circ}$ gleich ihrer Steigung $m$: \[m=\tan(\alpha)\] Ist die Gerade von der Form $x=a$ (Parallele zur $y$-Achse), so ist $\alpha=90^{\circ}$.

Falls Sie oben versucht haben, für $\alpha=90^{\circ}$ einzustellen, werden Sie bemerkt haben, dass das Steigungsdreieck nicht korrekt eingezeichnet wird, weil in diesem Fall die Beziehung $m=\tan(\alpha)$ nicht gilt. Für $\alpha >90^{\circ}$ liegt der Winkel nicht im Steigungsdreieck.

Wir berechnen den Winkel in zwei Fällen.

Die Steigung ist positiv

Gegeben ist die Gerade $g(x)=\frac 23x-1$; gesucht ist ihr Steigungswinkel.

Wir wissen $\tan(\alpha)=\frac 23$ und müssen die Gleichung nach $\alpha$ auflösen, also den Tangens umkehren. Die Umkehrfunktion nennt sich Arkustangens ($\arctan$) und wird auf dem Taschenrechner meistens mit $\tan^{-1}$ bezeichnet. Der Taschenrechner muss bei dieser Berechnung auf DEG (degree) stehen.

$\begin{align*}\tan(\alpha)&=\tfrac 23&&\color{#777}{|\arctan}\\ \alpha &\approx 33{,}7^{\circ}\end{align*}$

Da auf die Angabe „$|\arctan$“ sehr oft verzichtet wird, habe ich sie nur grau angedeutet.

Die Steigung ist negativ

Gegeben ist die Gerade $g(x)=-\frac 12x+1$; gesucht ist ihr Steigungswinkel.

Wenn wir wie oben vorgehen, erhalten wir mit dem Taschenrechner $\arctan\left( -\tfrac 12\right )\approx -26{,}6^{\circ}$. Der negative Winkel ist dabei so zu deuten, dass der Winkel im mathematisch negativen Sinn (also im Uhrzeigersinn) überstrichen wird. So sieht es aus:

Den Steigungswinkel erhalten wir, indem wir den gestreckten Winkel ($180^{\circ}$) addieren:

$\begin{align*}\tan(\alpha')&=-\tfrac 12\\ \alpha'&\approx -26{,}6^{\circ}\\ \alpha &=\alpha'+180^{\circ}\\ \alpha &\approx 153{,}4^{\circ}\end{align*}$

Zur Probe kann man $\tan(153{,}4)$ in den Taschenrechner eingeben und erhält bis auf eine Rundungsdifferenz den korrekten Wert $-0{,}5$.

Sonderfälle

Für die Parallele zur $x$-Achse (Gleichung $y=b$) ist $\alpha =0^{\circ}$, für die Parallele zur $y$-Achse (Gleichung $x=a$) ist $\alpha =90^{\circ}$.

Schnittwinkel mit den Koordinatenachsen

Eine Gerade schließt mit einer Koordinatenachse zwei Winkel ein. Unter dem Schnittwinkel einer Geraden mit einer Achse versteht man den kleineren der beiden möglichen Winkel; er wird stets positiv angegeben. Bei einer positiven Steigung stimmt der Schnittwinkel mit der $x$-Achse mit dem Steigungswinkel überein.

Für die Gerade $g(x)=-0{,}75x+2$ bekommen wir zunächst einen negativen Winkel. Der Schnittwinkel mit der $x$-Achse ist dann der entsprechende positive Winkel:

$\begin{align*}\tan(\alpha')&=-0{,}75\\ \alpha'&\approx -36{,}9^{\circ}\\ \alpha &\approx 36{,}9^{\circ}\end{align*}$

Für den Schnittwinkel $\beta$ mit der $y$-Achse nutzen wir aus, dass die Gerade mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck bildet:

$\beta =180^{\circ}-90^{\circ}-\alpha =90^{\circ}-\alpha\\ \beta \approx 53{,}1^{\circ}$

Aufstellen einer Geraden

Aufgabe: Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch $P(\color{#f00}{1}|\color{#1a1}{1})$ mit dem Steigungswinkel $\alpha =111,8^{\circ}$.

Lösung: Mithilfe des Winkels bestimmen wir zunächst die Steigung:

$m=\tan(111{,}8^{\circ})\approx \color{#a61}{-2{,}5}$

Diesen Wert und den Punkt setzen wir in die Normalform ein:

$\begin{align*}\color{#1a1}{1}&=\color{#a61}{-2{,}5}\cdot \color{#f00}{1}+b\\1&=-2{,}5+b&&\quad |+2{,}5\\3{,}5&=b\\ g(x)&=-2{,}5x+3{,}5\end{align*}$

Die Aufgabenstellung ist eher selten, zumal man fast immer mit gerundeten Werten weiterrechnen muss. Nur die Winkel $\alpha =45^{\circ}$ und $\alpha =135^{\circ}$ geben exakte Werte für die Steigung und werden deshalb vorzugsweise verwendet.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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