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Mathematik in der Oberstufe

Gerade aus Punkt und Steigung ermitteln

Geraden sind nicht immer durch ihre Funktionsgleichung gegeben, sondern müssen manchmal erst ermittelt werden. Eine Skizze ist allenfalls bei einfachen Zahlen hilfreich. Es geht aber auch rechnerisch – und das immer.

Wir schauen uns zunächst ein konkretes Beispiel an und entwickeln dann eine Formel. Am Schluss geht es noch einmal um das Ablesen eines Graphen.

Beispiel: Steigung und Punkt gegeben, Achsenabschnitt gesucht

Gesucht ist die Gleichung einer Geraden $g$, die durch den Punkt $P(4|-1)$ geht und die Steigung $m=\frac 12$ hat.

Natürlich brauchen wir später ein Rechenverfahren, aber zunächst veranschaulichen wir das Problem. Dafür tragen wir den Punkt $P$ ein und von dort aus das Steigungsdreieck (zwei nach rechts, eins nach oben), denn das ist ja an jeder Stelle des Graphen gleich.

Gerade durch P(4|-1) mit Steigung m=0,5

Die Zeichnung lässt vermuten, dass der Graph die $y$-Achse an der Stelle $-3$ schneidet.

Wir kennen die Normalform (Hauptform) der Geraden, nämlich $g(x)=mx+b$. Da wir die Steigung kennen, können wir $m$ einsetzen: $g(x)=\frac 12x+b$.

$P(\color{#f00}{4}|\color{#1a1}{-1})$ soll auf der Geraden liegen, muss also die Gleichung erfüllen. Durch Einsetzen können wir $b$ berechnen:
$\begin{align*}\color{#1a1}{-1}&=\tfrac 12\cdot \color{#f00}{4}+b\\-1&=2+b&&|-2\\-3&=b\end{align*}$

Die gesuchte Gerade hat damit die Gleichung $g(x)=\frac 12x-3$.

Die Punktsteigungsform

Muss man jedes Mal die Rechnung wie oben durchführen, oder gibt es auch eine Formel? Das untersuchen wir, indem wir die Rechnung jetzt allgemein mit einer fest vorgegebenen Steigung $m$ und einem Punkt $P(x_1|y_1)$ durchführen. Der Index bei $x_1$ bzw. $y_1$ bedeutet dabei, dass es sich um einen festen Punkt handelt. Nun setzen wir ein und lösen nach $b$ auf:

$\begin{align*}y_1&=m\cdot x_1+b&&|-m\cdot x_1\\y_1-m\cdot x_1&=b\end{align*}$

Der Ausdruck für $b$ wird nun in die allgemeine Geradengleichung eingesetzt:
$y=m\cdot x+y_1-m\cdot x_1$

Das ist noch nicht sehr überzeugend. Mit einigen Umformungen wird daraus aber eine leicht einprägsame Form. Zunächst sortieren wir um und klammern $m$ aus:
$y=m\cdot x-m\cdot x_1+y_1\\ y=m(x-x_1)+y_1$

In einigen Büchern wird dies als Punktsteigungsform angegeben, in anderen wird noch $y_1$ auf die andere Seite gebracht. Setzt man in die jeweilige Formel ein, ergibt sich bei der Anzahl der Rechenschritte kein Unterschied; Sie können also frei wählen (bzw. bedenkenlos die Formel verwenden, die in Ihrer Formelsammlung steht).

Die Punktsteigungsform einer Geraden lautet
\[y-y_1=m(x-x_1) \;\text{ bzw. }\; y=m(x-x_1)+y_1\] Dabei ist $m$ die Steigung und $P(x_1|y_1)$ ein fester Punkt der Geraden.

Muss man die Formel auswendig können? Meiner Meinung nach nicht unbedingt, es sei denn, der Lehrer verlangt es. Tatsächlich wird die Punktsteigungsform in vielen neueren Schulbüchern nicht mehr eingeführt. Sie können ohne Weiteres mit der Variante im obigen Beispiel rechnen, denn man benötigt auf diese Weise nur einen Schritt mehr. Im folgenden Beispiel werde ich die Formel aber anwenden.

Bestimmen einer Geradengleichung aus einem Graphen

Wenn der Achsenabschnitt nicht abzulesen ist, weil er nicht auf dem Koordinatengitter oder außerhalb des Zeichenbereichs liegt, muss man ihn berechnen. In der folgenden Grafik sind bereits zwei ablesbare Punkte mit dem zugehörigen Steigungsdreieck markiert. Der eingekreiste Achsenabschnitt lässt sich nur schätzen.

Gerade durch P(-2|-2) und Q(5|1)

Im Steigungsdreieck geht man sieben Schritte nach rechts und drei nach oben, sodass die Steigung $m=\frac 37$ beträgt. Die Geradengleichung ermitteln wir, indem wir den Punkt $P(\color{#f00}{-2}|\color{#1a1}{-2})$ in die Punktsteigungsform der Geraden einsetzen:

$\begin{align*}y-(\color{#1a1}{-2})&=\tfrac 37\cdot (x-(\color{#f00}{-2}))\\ y+2&=\tfrac 37x+\tfrac 67&&|-2\\g(x)&=\tfrac 37x-\tfrac 87\end{align*}$

Und wenn man den Punkt $Q(5|1)$ genommen hätte? Probieren Sie es einfach aus – es muss dasselbe herauskommen!

Wenn man nur die Koordinaten der Punkte gegeben hat, kann man die Gleichung übrigens auch ohne Skizze ermitteln.

Aufgabenvarianten

Natürlich kann man die Aufgabenstellung indirekt formulieren, zum Beispiel so:

  • Bestimmen Sie die Gleichung der zu $g(x)=2x+3$ parallelen Geraden durch den Punkt $P(2|0)$.
  • Wie muss die Gerade $h(x)=\frac 12x$ verschoben werden, damit sie durch den Punkt $Q(3|1)$ geht?

Ob die Gerade nun parallel ist oder verschoben wird: in beiden Fällen bleibt die Steigung gleich, und es ist nur das Grundproblem „Gerade aus Punkt und Steigung“ zu lösen.

Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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