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Mathematik in der Oberstufe

Tangente und Wendetangente – Basiswissen

Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Graphen in einem Punkt berührt. Im Unterschied zu einer Kreistangente ist es durchaus möglich, dass die Tangente den Graphen in einem anderen Punkt schneidet. Auch kann sie die Seiten wechseln, also beispielsweise im Berührpunkt von unterhalb des Graphen nach oberhalb des Graphen wechseln. Letzteres geschieht immer bei einer Tangente im Wendepunkt.

Tangente und Wendetangente

Die Stelle $x=x_0$, an der die Tangente an den Graphen gelegt werden soll, muss entweder direkt (zum Beispiel $x=3$) oder indirekt (zum Beispiel Wendestelle) gegeben sein. Da die Steigung einer Funktion über ihre Ableitung berechnet wird, geht man wie folgt vor:

Ermitteln einer Tangentengleichung

  1. Berechne $y_0=f(x_0)$
  2. Berechne $m_t=f'(x_0)$
  3. Berechne die Tangentengleichung durch Einsetzen in $y=mx+b$ oder $y= m_t(x-x_0)+y_0$

Beispiel

Gesucht ist die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f(x)=x^3 + 3x^2 + x$ an der Stelle $x = \color{#f00}{2}$.

Lösung

  1. $y_0 = f(\color{#f00}{2}) = \color{#f00}{2}^3 + 3\cdot \color{#f00}{2}^2 + \color{#f00}{2} = \color{#1a1}{22}$
  2. $f'(x) = 3x^2 + 6x + 1$
    $m_t = f'(\color{#f00}{2})= 3\cdot \color{#f00}{2}^2 + 6\cdot \color{#f00}{2} + 1 = \color{#a61}{25}$
  3. Berechnen der Tangentengleichung:
    Erste Variante:
    $\begin{align*} y&= mx+b\\ \color{#1a1}{22}&=\color{#a61}{25}\cdot \color{#f00}{2}+b\\ 22&=50+b&|-50\\-28&=b\\ t(x)&=25x-28 \end{align*}$
    Zweite Variante:
    $\begin{align*} y&=m_t (x-x_0)+y_0 \\ &=\color{#a61}{25}(x-\color{#f00}{2})+\color{#1a1}{22}\\ &=25x-50+22 \\ t(x)&=25x-28\end{align*}$
    Im letzten Schritt erfolgt jeweils die Umbenennung von $y$ in $t(x)$ – ein üblicher Name für Tangentengleichungen.
    Natürlich ist es egal, welchen der beiden Lösungswege Sie wählen. Die erste Variante ist aus der Mittelstufe gut bekannt und wird daher meist bevorzugt; die zweite Variante ist jedoch schneller.

Wendetangente

Die Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt. Ist also nach der Wendetangente gefragt, muss man erst den Wendepunkt berechnen (meist hat man das bereits in einer vorausgegangenen Kurvendiskussion getan) und dann wie oben vorgehen.

Im obigen Beispiel liegt der Wendepunkt bei $W(-1|1)$. $y_0$ ist also schon bekannt. Man berechnet $f'(-1) = -2$ und erhält als Wendetangente die Gleichung $t_w(x) = -2x -1$. Prüfen Sie dies nach!

Hat eine Funktion mehrere Wendepunkte, so muss man die Wendetangente in jedem einzelnen Punkt berechnen, sofern nichts weiter gesagt ist. Manchmal gibt es aber auch eine Einschränkung, die man aus dem Text entnehmen kann. Ist die Wendetangente für den „Wendepunkt im ersten Quadranten“ gesucht, so verwendet man eben nur diesen.

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015;   © Ina de Brabandt

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