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Lösungen: Ableiten mit der Produktregel
Aufgeführt ist jeweils der Ansatz mit der Produktregel sowie das Endergebnis, aber kein Zwischenschritt.
Das gewünschte Aussehen der Ergebnisse hängt ein wenig vom Lehrer ab. Manche sind mit $x^{\frac 32}$ zufrieden, der nächste möchte $\sqrt{x^3}$ und der dritte vielleicht $x\sqrt x$ sehen.
$f'(x)=4x^3\cdot x^8+x^4\cdot 8x^7=12x^{11}$
$\begin{align*}f'(x)&=10x^4\left(\tfrac 12x^4-6\right)+2x^5\cdot 2x^3\\ &=5x^8-60x^4+4x^8\\ &=9x^8-60x^4\end{align*}$
$\begin{align*}f'(x)&=6x(2x^3+4)+(3x^2-2)\cdot 6x^2\\ &=30x^4-12x^2+24x\end{align*}$
$\begin{align*}f'(x)&=(2x-3)(x^2-3x)+(x^2-3x)(2x-3)\\ &=4x^3-18x^2+18x\end{align*}$
$f'(x)=2x\cdot \sqrt{x}+x^2\cdot \frac 12x^{-\frac 12}=\frac 52 x^{\frac 32}=\frac 52 x\sqrt{x}$
$\begin{align*}f'(x)&=(6x-4)\cdot 4x^{-3}+(3x^2-4x)\cdot (-12x^{-4})\\ &=-\dfrac{12}{x^2}+\dfrac{32}{x^3}\end{align*}$
$\begin{align*}f'(x)&=2x^{-\frac 12}\cdot (x^2+x^{-1})+4x^{\frac 12}\cdot (2x-x^{-2})\\ &=10x^{\frac 32}-2x^{-\frac 32}\\ &=10x\sqrt{x}-\dfrac{2}{x\sqrt{x}}\end{align*}$
$\begin{align*}f'(x)&=2ax(x^2-a)+(ax^2+3)\cdot 2x\\ &= 2ax^3-2a^2x+2ax^3+6x\\ &=4ax^3-2a^2x+6x\end{align*}$
$\begin{align*}f'(x)&=1\cdot (x^2+t^2)+(x-t)\cdot 2x\\ &=3x^2-2tx+t^2\end{align*}$
$\begin{align*}f'(t)&=2t(at^3-a)+(t^2+a^2)\cdot 3at^2\\ &=5at^4+3a^3t^2-2at\end{align*}$
$\begin{align*}f'(x)&=1\cdot \cos(x)+x\cdot (-\sin(x))\\ &=\cos(x)-x\sin(x)\end{align*}$
$f'(x)=2x\sin(x)+(x^2-1)\cos(x)$ (keine Vereinfachung möglich)
$\begin{align*}f'(x)&=\cos(x)\cdot \cos(x)+\sin(x)\cdot (-\sin(x))\\ &=\cos^2(x)-\sin^2(x)\end{align*}$
$f'(x)=\cos(x)(x+\cos(x))+\sin(x)(1-\sin(x))$
Eine Vereinfachung ist nicht wirklich möglich. Wenn man die Klammern auflöst, ergibt sich
$f'(x)=x\cos(x)+\cos^2(x)+\sin(x)-\sin^2(x)$
$\begin{align*}f'(x)&=6x^2(4x^4-10x)+(2x^3+5)(16x^3-10)\\ &\qquad +5x^4(2-8x^2)+(x^5-1)(-16x)\\ &=10x^4+16x-50\end{align*}$
$\begin{align*}f'(x)&=-\sin(x)\cos(x)+\cos(x)(-\sin(x))\\ &\qquad -\cos(x)\sin(x)-\sin(x)\cos(x)\\ &=-4\sin(x)\cos(x)\end{align*}$
$f(x)=c\cdot v(x)$
$\begin{align*}f'(x)&=0\cdot v(x)+c\cdot v'(x)\\ &=c\cdot v'(x)\end{align*}$
Dies ist die Faktorregel.
$f(x)=u(x)\cdot u(x)$
$\begin{align*}f'(x)&=u'(x)\cdot u(x)+u(x)\cdot u'(x)\\ &=2u(x)\cdot u'(x)\end{align*}$
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Letzte Aktualisierung: 02.12.2015; © Ina de Brabandt
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